Master

FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ
FACULTAD DE MATEMÁTICAS E INGENIERÍA
PROGRAMA DE INGENIERÍA DE SISTEMAS
MÉTODOS NUMÉRICOS

FACTORIZACIÓN TRIANGULAR DE MATRICES
Por: Pervys Rengifo Rengifo

Supóngase que una matriz Anxn se ha reducido a una forma escalonada U mediante una sucesión de operaciones elementales en los renglones. Por lo expuesto anteriormente, cada una de estasoperaciones elementales[1] se puede efectuar multiplicando por la izquierda una matriz elemental[2] apropiada. Así, es posible encontrar matrices elementales E1,E2,E3,...,Ek tales que

Ek*Ek-1*...*E1*A=U [1]

Como ya se mencionó las matrices Ek, Ek-1,..., E1, al ser elementales son invertibles, por lo tanto, despejando A de [1]:
[pic]
Se puede demostrar que la matriz L, definida por
[pic]

Estriangular inferior, con la condición de que para reducir a A en U no se efectúe ningún intercambio de filas. Suponiendo que este es el caso, entonces:
[pic]
Que es una factorización de A en un producto de una matriz triangular inferior y una matriz triangular superior.
Una factorización de una matriz cuadrada A como A=LU, donde L es una matriz triangular inferior y U es una matriz triangularsuperior, se denomina descomposición LU o descomposición triangular de A

Ejemplo: Encontrar una descomposición LU para
[pic]

Solución: Para obtener una descomposición LU, A=LU, A se reducirá a una forma escalonada U, y luego L se calculará a partir de las matices elementales

|Reducción a la forma escalonada |Matriz Elemental que corresponde a la |Inversa de lamatriz elemental |
| |operación entre filas | |
|[pic] |[pic] |[pic] |
| |[pic]|[pic] |
|[pic] | |[pic] |
| |[pic] | |
||[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |[pic] |
| |[pic] |[pic] |
|[pic]|[pic] |[pic] |
| |[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |[pic]|
| |[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |[pic] |
| |[pic]|[pic] |
|[pic] | | |

De esta forma: [pic], y
[pic]=
[pic][pic][pic][pic][pic] [pic]= [pic]

De modo que, A=LU, o [pic]=[pic][pic]
También se puede verificar que:
E6E5 E4 E3 E2 E1 A=U
[pic] [pic] [pic] [pic] [pic]...