mat_did_dina_no_lineal 1

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CAMPECHE
FACULTAD DE INGENIERÍA

Material Didáctico para el Curso de Dinámica No-Lineal y Estabilidad
Ingeniería en Mecatrónica-7° Semestre, Optativa del modulo de Automatizacón

Contenido
1.
2.
3.
4.

Linearización
Función Descriptiva
Análisis de estabilidad mediante el Plano de Fase
Análisis de estabilidad mediante Función de Lyapunov

1
15

50
133

Este materialdidáctico fue seleccionado por el Dr. José Rubén F. Lagunas
Jiménez, como apoyo para el curso de Dinámica No-Lineal. La parte del trabajo
de copiado y organización del mismo fue posible con la ayuda del C. Pablo
Interian, Estudiante del curso y del Programa de Ingeniería en Mecatrónica, al
que agradezco su entusiasmo y motivación.
Junio de 2014

DINAMICA
NO LINEAL
Y
ESTABILIDAD

Linealizacion
DeSistemas
No Lineales

Sistemas de Control para Ingeniería
Norman S. Nise
Ed. CECSA
Tercera Edición
Capitulo 2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Análisis De
Sistemas de
Control No
Lineales
Mediante La
Función
Descriptiva
Ingeniería de Control Moderno
K. Ogata
Tercera Edición
Capitulo 8

15

16

17

18

19

20

21

22

23

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29

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34

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39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

PLANO
DE
FASE
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
Zilli- Wrigth
Cuarta Edición
Mc. Graw Hill

50

CAPÍTULO

8
Sistemas de ecuaciones
diferenciales lineales
Estructura del capítulo
8.1 Teoría preliminar
8.2 Sistemas lineales homogéneos
8.2.1 Valores propios reales distintos
8.2.2 Valores propios repetidos
8.2.3Valores propios complejos
8.3 Solución mediante diagonalización
8.4 Sistemas lineales no homogéneos
8.4.1 Coeficientes indeterminados
8.4.2 Variación de parámetros
8.4.3 Diagonalización
8.5 Matriz exponencial
Ejercicios de repaso del capítulo 8

En la sección 2.9 estudiamos por primera vez en este libro los
sistemas de ecuaciones diferenciales, y en las secciones 3.11 y 4.6
pudimos resolver algunosde estos sistemas. En el presente capítulo vamos a concentrarnos únicamente en sistemas de ecuaciones
diferenciales lineales de primer orden. Mientras la mayor parte de los
sistemas considerados pudieron resolverse por medio de eliminación
(sección 3.11) o de la transformada de Laplace (sección 4.6), aquí
vamos a desarrollar una teoría general para este tipo de sistemas y,
para el caso de sistemascon coeficientes constantes, un método de
solución que utiliza algunos conceptos básicos del álgebra de matrices. Advertiremos que esta teoría general y el procedimiento de solución son similares a los de ecuaciones diferenciales lineales de orden
superior que se estudiaron en las secciones 3.3 a la 3.5. El material
también resulta fundamental para efectuar el análisis de sistemas de
ecuacionesno lineales de primer orden (capítulo 9).
406

51

8.1

Teoría preliminar

La notación y las propiedades matriciales se utilizarán ampliamente en este capítulo.
El estudiante deberá revisar el capítulo 7 en caso de que no esté familiarizado con estos
conceptos.

Nota para el estudiante.

■ Introducción Recuerde que en la sección 3.11 ilustramos cómo resolver sistemas
de n ecuaciones diferencialesen n incógnitas de la forma
P11(D)x1 ϩ P12(D)x2 ϩ . . . ϩ P1n(D)xn ϭ b1(t)
P21(D)x1 ϩ P22(D)x2 ϩ . . . ϩ P2n(D)xn ϭ b2(t)

(1)

Ӈ
Pn1(D)x1 ϩ Pn2(D)x2 ϩ . . . ϩ Pnn(D)xn ϭ bn(t),
donde Pij eran polinomios de diferentes grados del operador diferencial D. En este capítulo concentraremos nuestro estudio en las ecuaciones diferenciales de primer orden que
representan casos especiales de sistemas quetienen la formulación normal

dx1
ϭ g1 1t, x1, x2, p , xn 2
dt
dx2
ϭ g2 1t, x1, x2, p , xn 2
dt

(2)

Ӈ

dxn
ϭ gn 1t, x1, x2, p , xn 2 .
dt

Un sistema de n ecuaciones de primer orden tal como (2) se denomina sistema de primer orden.

■ Sistemas lineales Cuando cada una de las funciones g1, g2, . . . , gn incluidas en
(2) es lineal en las variables independientes x1, x2, . . . , xn , obtenemos la...