Mat II Economia 004

Matem´
aticas II
Grado en Econom´ıa - Universidad de Le´
on
Documento 104 - octubre de 2012
1.- Matriz diagonal:
Sea D una (n × n)-matriz con coeficientes en R, diremos que D = (dij ) es una matrizdiagonal si verifica dij = 0, ∀i = j. As´ı, denotando los elementos de la diagonal de la
matriz D como λi se tiene


λ1 0 . . . 0
 0 λ2 . . . 0 


D =  ..
.. . .
..  ,
 .
.
.
. 
0 0 . . . λndonde λi ∈ R, ∀i ∈ {1, 2, ...n}.


- El c´alculo de las potencias de D viene dado por:



Dk = 


λk1 0 . . . 0
0 λk2 . . . 0
..
.. . .
.
. ..
.
.
0 0 . . . λkn





.


2.- Objetivo:
Dada Auna (n × n)-matriz con coeficientes en R, hallar Ak .
- Si existen una matriz P con inversa y una matriz D diagonal verificando A = P DP −1 ,
entonces el c´alculo de Ak se simplifica: Ak =
(P DP −1)(P DP −1 ) . . . (P DP −1 ) = P D(P −1 P )D . . . DP −1 = P DD . . . D P −1 = P Dk P −1 .
k

k

- Se dice que una matriz A es diagonalizable si la matriz A se puede representar como
una matrizdiagonal D a trav´es de un cambio de base dado por una matriz P , es decir
P −1 AP = D.
3.- Condiciones para la diagonalizaci´
on de una matriz:
Si A es una matriz diagonalizable (es decir existen P coninversa y D diagonal tal que
A = P DP −1 ) y αi = (0, . . . , 0, 1i) , 0, . . . , 0)t , se tiene entonces que la matriz D verifica
D · αi = λi · αi , de donde se deduce A · αi = λi · αi .

- Esto llevaal siguiente planteamiento general: dada A una (n × n)-matriz, ¿cu´ando existen λ ∈ R y x ∈ Rn con x = 0, tales que Ax = λx? As´ı, el problema de la diagonalizaci´on
de A se reduce a estudiar ¿cu´andoexiste λ ∈ R verificando que el sistema homog´eneo
(A − λ · Idn )·x = 0 es un sistema compatible e indeterminado?
- Adem´as, obs´ervese que para que el sistema sea compatible e indeterminado se tieneque
verificar rg(A − λ · Idn ) < n, es decir
det(A − λ · Idn ) = 0.
4.- Definiciones:
- El Polinomio Caracter´ıstico de A es el polinomio de grado n definido por
det(A − λ · Idn ).
- λi ∈ R es...