mate 3
Páginas: 6 (1421 palabras)
Publicado: 9 de noviembre de 2013
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES LINEALES
Crecimiento de poblaciones
Para estudiar el crecimiento de poblaciones se pueden seguir diferentes modelos. Por ejemplo, el modelo malthusiano o exponencial se basa en que la tasa de crecimiento es proporcional a la población; por tanto, esta descrito por una ecuación diferencial de la forma:
Dónde:
Procediendo a la solución de laecuación y separando variables:
Integramos cada miembro de la ecuación:
Obtenemos:
La población de individuos está en función del tiempo
Este modelo lineal para crecimiento de poblaciones, son satissfactorios siempre que la población no sea demasiado grande o bien que no se aplique a un futro distante.
Cuando la poblacion es demasiado grande, este modelo matematico no puedeser exacto, ya que no refleja el hecho de que los individuos compiten entre si por el limitado espacio vital, por recursos naturales, etc. Asi pues, hay que agregar un termino de competicion para que el crecimiento de la poblacion esté representado en forma mas realista. Una eleccion adecuada del termino competitivo es , llamda ley de logistica(Verhulst, en 1837):
Ahora bien, en general laconstante es muy pequeña comparada con , de tal modo que si no es demasiado grande entonces el termino es insignificante comparado con . Sin embargo, si es grande entonces el termino debe tomarse en cuenta ya que dismnuye la tasa de crecimiento.
Problema aplicativo
La aparición de salitre en estructuras de concreto armado cerca a las orillas del mar se ve incrementando muchísimo al pasar deltiempo. Si se tuvo una cierta cantidad de salitre . Después de 5 días se observó que aumento en un 100 por ciento y después de 8 días 400 por ciento. Encontrar la expresión para la cantidad de salitre presente en estructuras de concreto al tiempo y el porcentaje que había originalmente de salitre.
Solución:
Sea la cantidad de salitre que hay en días. De ahí que y y es la velocidad a laque se incrementa el salitre.
Por la ley de maltusiana este problema se formula de la siguiente manera:
Cuya solución integrada es conocida:
Como se tiene que:
Cuando resulta:
La ecuación resultante quedaría:
Hallan , si
La ecuación resultante quedaría:
Rpta.
El porcentaje que habia inicialmente aproximadamente es de 9.9213 porciento .Ley de Enfriamiento de Newton
De acuerdo con la ley de enfriamiento de Newton, la tasa de cambio de la temperatura de un cuerpo respecto del tiempo (), en un instante , en un medio de temperatura constante, es proporcional a la diferencia entre la temperatura del medio y la del cuerpo.
Por lo tanto, es La rapidez con la que se enfría un objeto que es proporcional ala diferencia entre su temperatura y del medio ambiente que lo rodea.
Dónde:
Procediendo a la solución de la ecuación (1) y separando variables:
Integramos cada miembro de la ecuación:
Obtenemos:
Despejamos la Temperatura:
Temperatura que depende del tiempo:
Problema aplicativo Nº 01
Unavarilla de acero corrugado a una temperatura dese pone en un cuarto a una temperatura constante de . Después de 20 minutos la temperatura de la barra es de .
¿Cuánto tiempo tardará la barra para llegar a una temperatura de ?
¿Cuál será la temperatura de la barra después de 10 minutos?
Solución:
Sea la temperatura de la barra al tiempo , luego y . La temperatura del medio ambiente,, es . Nóteseque es la velocidad a la que se enfría la barra.
Por la ley de enfriamiento de Newton se tiene que:
Y como , este problema queda formulado con la siguiente ecuación diferencial y sus condiciones
La solución general ya es conocida
Como se tiene que:
Cuando resulta:
La ecuación resultante quedaría:
Rptas:
a) El tiempo necesario para que la temperatura...
Crecimiento de poblaciones
Para estudiar el crecimiento de poblaciones se pueden seguir diferentes modelos. Por ejemplo, el modelo malthusiano o exponencial se basa en que la tasa de crecimiento es proporcional a la población; por tanto, esta descrito por una ecuación diferencial de la forma:
Dónde:
Procediendo a la solución de laecuación y separando variables:
Integramos cada miembro de la ecuación:
Obtenemos:
La población de individuos está en función del tiempo
Este modelo lineal para crecimiento de poblaciones, son satissfactorios siempre que la población no sea demasiado grande o bien que no se aplique a un futro distante.
Cuando la poblacion es demasiado grande, este modelo matematico no puedeser exacto, ya que no refleja el hecho de que los individuos compiten entre si por el limitado espacio vital, por recursos naturales, etc. Asi pues, hay que agregar un termino de competicion para que el crecimiento de la poblacion esté representado en forma mas realista. Una eleccion adecuada del termino competitivo es , llamda ley de logistica(Verhulst, en 1837):
Ahora bien, en general laconstante es muy pequeña comparada con , de tal modo que si no es demasiado grande entonces el termino es insignificante comparado con . Sin embargo, si es grande entonces el termino debe tomarse en cuenta ya que dismnuye la tasa de crecimiento.
Problema aplicativo
La aparición de salitre en estructuras de concreto armado cerca a las orillas del mar se ve incrementando muchísimo al pasar deltiempo. Si se tuvo una cierta cantidad de salitre . Después de 5 días se observó que aumento en un 100 por ciento y después de 8 días 400 por ciento. Encontrar la expresión para la cantidad de salitre presente en estructuras de concreto al tiempo y el porcentaje que había originalmente de salitre.
Solución:
Sea la cantidad de salitre que hay en días. De ahí que y y es la velocidad a laque se incrementa el salitre.
Por la ley de maltusiana este problema se formula de la siguiente manera:
Cuya solución integrada es conocida:
Como se tiene que:
Cuando resulta:
La ecuación resultante quedaría:
Hallan , si
La ecuación resultante quedaría:
Rpta.
El porcentaje que habia inicialmente aproximadamente es de 9.9213 porciento .Ley de Enfriamiento de Newton
De acuerdo con la ley de enfriamiento de Newton, la tasa de cambio de la temperatura de un cuerpo respecto del tiempo (), en un instante , en un medio de temperatura constante, es proporcional a la diferencia entre la temperatura del medio y la del cuerpo.
Por lo tanto, es La rapidez con la que se enfría un objeto que es proporcional ala diferencia entre su temperatura y del medio ambiente que lo rodea.
Dónde:
Procediendo a la solución de la ecuación (1) y separando variables:
Integramos cada miembro de la ecuación:
Obtenemos:
Despejamos la Temperatura:
Temperatura que depende del tiempo:
Problema aplicativo Nº 01
Unavarilla de acero corrugado a una temperatura dese pone en un cuarto a una temperatura constante de . Después de 20 minutos la temperatura de la barra es de .
¿Cuánto tiempo tardará la barra para llegar a una temperatura de ?
¿Cuál será la temperatura de la barra después de 10 minutos?
Solución:
Sea la temperatura de la barra al tiempo , luego y . La temperatura del medio ambiente,, es . Nóteseque es la velocidad a la que se enfría la barra.
Por la ley de enfriamiento de Newton se tiene que:
Y como , este problema queda formulado con la siguiente ecuación diferencial y sus condiciones
La solución general ya es conocida
Como se tiene que:
Cuando resulta:
La ecuación resultante quedaría:
Rptas:
a) El tiempo necesario para que la temperatura...
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