MAte 3

Universidad De Chile
Facultad De Ciencias F´
ısicas y Matem´ticas
a

1.

Escuela de Ingenier´
ıa
Departamento de Ingenier´ Matem´tica
ıa
a

Clase Auxiliar 7 de Agosto
MA26-B Matem´ticas Aplicadas
a
Problema 1: Ecuaciones Intr´
ınsecas

Sea una curva γ y su parametrizaci´n natural r(s), estudiaremos la curvatura y la torsi´n
o
ˆ
o
de γ, la cual depende del punto P en el cualestemos (por lo cual se recurre a la parametrizaci´n
o
natural) y definimos las ecuaciones intr´
ınsecas de γ como:
κ = f (s)
τ = F (s)
en donde s representa la longitud de arco. Las cuales deben sus nombres al hecho de que
dos curvas con las mismas ecuaciones intr´
ınsecas, son id´nticas a excepci´n de posiblemente su
e
o
orientaci´n en el espacio, i.e. que su geometr´ es la misma.
oıa
Ahora planteamos como ejercicio la demostraci´n de este hecho .
o
Sean curvas γ1 ∧ γ2 tales que admiten una parametrizaci´n natural Anal´
o
ıtica, demostrar que
si sus ecuaciones caracter´
ısticas son iguales, entonces las curvas tienen la misma geometr´
ıa.
Soluci´n :
o
En primer lugar tomaremos un punto com´n entre ambas curvas, esto es posible ya que,
u
podemos trasladar unacurva hasta que haya al menos un punto en com´n, que llamaremos P ,
u
ahora bien, en este punto calculamos la tr´
ıada ortonormal T , N , B en ambas curvas y luego
mediante una rotaci´n r´
o ıgida hacemos que coincidan los de γ1 y de γ2 de tal manera que la
tr´
ıada est´ alineada.(Debemos recordar que estamos buscando que las geometr´ sean iguales,
e
ıas
y es claro ver que las traslacionesni las rotaciones la alteran).
Ahora queremos saber como es la geometr´ que adoptan las curvas en las cercan´ de P
ıa
ıas
para lo cual calculamos:
d(T1 · T2 )
= T 1 · κN 2 + κN 1 · T 2
ds
d(N1 · N2 )
= N1 · (−κT2 + τ B2 ) + N2 · (−κT1 + τ B1 )
ds
d(B1 · B2 )
= −B1 · τ N2 − τ N1 · B2
ds
Lo cual se obtiene al derivar el producto punto, y aplicando las ecuaciones de Frenet donde
seanecesario.
Luego sumamos todas las ecuaciones, con lo cual obtenemos:
d(T1 · T2 + N1 · N2 + B1 · B2 )
=0
ds
1

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ıa
Departamento de Ingenier´ Matem´tica
ıa
a

lo cual implica que :
(T1 · T2 + N1 · N2 + B1 · B2 ) = c
pero recordemos que en P los tres vectores son colineales, por lo cual c=3.Pero recordemos
que los tres vectores est´n normalizados i.e. son de m´dulo 1, y adem´s tenemos que si a ∧ b
a
o
a
son vectores entonces:
a·b≤ a

b

por lo cual podemos ver que la expresi´n alcanza siempre su mayor valor por lo cual los
o
vectores tangente, normal y binormal de las dos curvas son iguales, i.e.
T1 ≡ T2
N1 ≡ N2
B1 ≡ B2
Luego podemos decir que :
dr 1 = dr 2
ˆ
ˆ
dsds
o bien que r1 ≡ r2 localmente, es decir que las curvas son id´nticas en las cercan´ de P
ˆ
ˆ
e
ıas
pero como la parametrizaci´n es Anal´
o
ıtica, las curvas son id´nticas en todas partes.
e
Observaciones: En este ejercicio, es necesario recordar, que una funci´n anal´
o
ıtica es aquella
que en cualquier punto se puede hacer un desarrollo en serie, por lo cual si dos funciones soniguales, implica que sus respectivas series son iguales, luego la resta de ellas es igual a cero, si
esto ocurre en un abierto, las soluciones son infinitas no numerables, por lo cual ambas funciones son siempre iguales ya que sus series de potencias lo son en todos lados.
Y adem´s con respecto a que es una rotaci´n r´
a
o ıgida, es aquella en la cual la distancias
relativas dentro de lafigura no se ven alteradas, como lo es el hacer bailar un trompo, en donde
si marcamos dos puntos en ´ste, no importa si est´ detenido sobre una mesao bien bailando en
e
a
el suelo, siempre la distancia entre ambos se mantiene constante, en otras palabras no cambia
la forma del trompo, al trasladarlo o al hacerlo girar.
Ahora en tercer y ultimo lugar, la utilidad de este resultado, es que si...