Matemáticas discretas

INSTITUTO TECNOLOGICO DE CULIACAN

NOMBRE: VICENTE VELARDE BAEZ
N° CONTROL:
MAESTRO: RICARDO ALBERTO GARCIA OSUNA
MATERIA: MATEMATICAS DISCRETAS
TRABAJO: RELACIONES

Relación Binaria
En matemáticas, una relación binaria es una relación matemática R entre los elementos de dos conjuntos A y B. Una relación de este tipo se puede representar mediante pares ordenados, 
:

Lasproposiciones siguientes son correctas para representar una relación binaria :

La importancia en matemáticas de las relaciones binarias, se debe a que una gran parte de las asociaciones entre elementos de conjuntos, tanto numéricos como no numéricos, se hace de dos en dos elementos, tanto si son elementos de un único conjunto o de dos conjuntos distintos, en el esquema se puede ver algunas estructurasalgebraicas o subtipos de relación binaria. Emplearemos este esquema para ver estos casos.
En primer lugar diferenciamos las relaciones binarias homogéneas de las heterogéneas, en las primeras la relación binaria se establece entre los elementos de un único conjunto, por lo que en realidad lo que determina es su estructura interna, mientras que en las segundas se establecen relaciones entre dosconjuntos distintos, lo que da lugar a operaciones o funciones matemáticas de cálculo, una relación homogénea puede ser tratada como heterogénea con los mismos subtipos, pero no al contrario.




Propiedades De Las Relaciones (reflexiva, irreflexiva, simétrica y asimétrica).
Propiedad Reflexiva.
Definición.
Diremos que R es reflexiva si aA, a R a
Ejemplo
1)En N la relación R definida por: “x R y x divide a y”
es reflexiva ya que xN, x R x porque x divide a x
2) En N la relación R definida por:
“a R b a es el doble de b”.
No es reflexiva ya que (1, 1) R puesto que 1 no es el doble de 1.

 Relaciones irreflexivas.
Una relación R en un conjunto A es irreflexiva si a R a paratoda a  A. Por consiguiente, R es irreflexiva si ningún elemento está relacionado consigo mismo. La matriz de una relación irreflexiva deberá tener ceros en toda su diagonal principal.
Ejemplo Sea R = {(a,b)  A x A| ab}, R es la relación de desigualdad en el conjunto A. Entonces R es irreflexiva, ya que (a,a)  R para todas las x  A.
Relación simétrica.
La relación es Simétrica si los pares ordenados delProducto Cartesiano AxA son Simétricos respecto de la Diagonal Principal. Sea R una relación en el conjunto A_ R es llamada simétrica si para cada la siguiente implicación es verdadera:
 En consecuencia R no es simétrica si existen tales que:
 Es decir una relación es simétrica si y solamente si está relacionado con b implica que b está relacionado con.

 Relación anti simétrica: Sea R una relaciónen el conjunto A. R es llamada anti simétrica si para cadala siguiente implicación es verdadera:
 En consecuencia R no es anti simétrica si existen tales que:
 Es decir, una relación es anti simétrica si y solamente si no hay elementos y b distintos tales que, esté relacionado con b y b esté relacionado con .

Relaciones de Equivalencia (cerradura, clases de equivalencia y particiones).Cerradura.
Sea R una relación en un conjunto A 
Una cerradura reflexiva ref( R ) de R en A es la “menor” relación que la incluye y que es reflexiva, con símbolos:  (∀ R’ reflexiva) (A ⊆ R’ ⊆ ref( R )) ⇒ R’ = ref( R )) 

Una cerradura simétrica sim( R ) de R en A es la “menor” relación que la incluye y que es simétrica, con símbolos:  (∀ R’ reflexiva) (A ⊆ R’ ⊆ ref( R )) ⇒ R’ = ref( R )) 

Unacerradura transitiva trans( R ) de R en A es la “menor” relación que la incluye y que es transitiva, con símbolos: (∀ R’ reflexiva) (A ⊆ R’ ⊆ ref( R )) ⇒ R’ = ref( R )
La cerradura reflexiva y la cerradura simétrica de una relación es muy simple de encontrar, solamente se le agregan los pares necesarios de una forma directa. Cuando conocemos la matriz asociada a la relación, la forma de...