Matematica 1

MATEMATICA I
f’(x)>0 f’(x) 0. Elementos que conforman el entorno; centro “a” y radio o extensión “ δ ” Notación: El entorno se nota con una letra N mayúscula y a continuación se coloca el centro y el radio tal como sigue: N (a; δ ) ó también N δ (a ) Grafica: Ejemplo de una grafica para un entorno de centro 4 y radio 3

δ
Ι 0

(
1

Ι 2

Ι 3

Ι 4 a

Ι 5

Ι 6

)
7

Ι 8

Ι 9ℜ

Definición formal: La definición formal para un entorno de centro “a” y radio δ es como sigue:
N (a; δ ) = {x / x ∈ ℜ ∧ x − a < δ }

Ejemplo: 1.- Defina y grafique un entorno de centro 1 que contenga al siguiente conjunto: C = x / x ∈ℜ ∧ x3 − x = 0

{

}
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Guia de Estudio. Matematica I. Faces U.C [R-5]

Prof. Magdiel Acosta Noy

Solución:

El primer paso es determinarquien es el conjunto “C”, tenemos:

x3 − x = 0

( x)( x 2 − 1) = 0

( x) = 0

( x 2 − 1) = 0

x 2 = 1 x = ±1

Por lo tanto C= − 1 ; 0 ; 1 . Ahora bien, dado que el centro se indica que esta en el valor 1, determinamos cual de los elementos de C está mas alejado de dicho valor, es el -1, y está a 2 unidades, por lo tanto δ deberá ser mayor a 2 unidades para contener a todo el conjunto C.Supongamos entonces que fijamos un δ igual a 3. Entonces, la definición formal de nuestro entorno N (1 ; 3) será como sigue (sustituyendo en la definición formal los parámetros centro y radio):
N (1 ; 3) = {x / x ∈ ℜ ∧ x − 1 < 3}

{

}

Y la grafica de nuestro N (1;3) será:

Ι -3

(
-2

Ι -1

Ι 0

Ι 1 a

Ι 2

Ι 3

)
4

Ι 5

Ι 6

ℜ

Entorno Reducido: Es un intervaloabierto de centro “a” y radio δ , donde δ > 0, y donde el centro se excluye del entorno. Elementos que conforman el entorno reducido; extensión “ δ ” centro “a” y radio o

Notación: El entorno reducido se nota con una letra N* (mayúscula con asterisco) y a continuación se coloca el centro y el radio tal como sigue: N* (a; δ ) ó también N *δ (a)

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Grafica:

que el centro 4, está excluido del intervalo abierto)

Ejemplo de una grafica para un N* de centro 4 y radio 3 (Note

δ
Ι 0

(
1

Ι 2

Ι 3

)Ι(
4 a

Ι 5

Ι 6

)
7

Ι 8

Ι 9

ℜ

Definición formal: La definición formal para un entorno reducido de centro “a” y radio δ es como sigue:
N * (a;δ ) = {x / x ∈ ℜ ∧ 0 < x − a < δ }Ejemplo: 2.- Defina y grafique un N * (a ; 4) que contenga al siguiente conjunto:

C = x / x ∈ ℜ ∧ x 2 −1 < 0
Solución:

{

}

El primer paso es determinar quien es el conjunto “C”, tenemos:

x 2 −1 < 0

es una inecuación cuya solución es el intervalo abierto (-1; 1) Ahora bien, dado que el enunciado indica que el 2 y así,

Por lo tanto C= (-1; 1).

radio deber ser 4 determinamosdonde fijar el centro “a”, recordando que en el N* este está excluido del entorno. Fijamos el centro en puesto que el radio es de 4 unidades, contendrá a todo el conjunto C. Entonces, la definición formal de nuestro entorno N * (2 ; 4) será como sigue (sustituyendo en la definición formal los parámetros centro y radio):
N * (2 ; 4) = {x / x ∈ ℜ ∧ 0 < x − 2 < 4}

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Y la grafica de nuestro N * (2 ; 4) será:
Ι -3

(
-2

Ι -1

Ι 0

Ι 1

)Ι(
2 a

Ι 3

Ι 4

Ι 5

)
6

Ι 7

Punto de acumulación: Se dice que un valor x 0 es punto de acumulación de un conjunto C, si y solo si para todo entorno reducido de centro x 0 , existe por lo menos un elemento que simultáneamente pertenezca al entornoreducido y al conjunto C.

x 0 es punto de acumulación de C ⇔ ∀N * ( x 0 ; δ ); ∃x / x ∈ N * ∧ C

Ejemplos gráficos: En los ejemplos 1 a 4, el valor x 0 es punto de acumulación del conjunto C resaltado. En los ejemplos conjunto C. 1.
Ι

5 y 6, x 0 no es punto de acumulación del

“C"

(

Ι

Ι

)Ι
x0

Ι

Ι

ℜ

2.
Ι

“C"

(

Ι

Ι

)Ι(
x0

Ι

Ι

)

Ι

Ι...