Matematica Discreta Propiedades De Numeros En Diferentes Bases

FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
ARITMÉTICA
Yonatan Darío Chaparro Aguas - 2006140016
Asesor: Carlos Julio Luque Arias

TALLER 1: Operaciones entre Números Naturales
ALGUNOS EJERCICIOS DE ENTRENEAMIENTO
1. Sea nX = ((((X)X)X)...)X una nueva operación basada en la repetición de la potenciación, donde n es el número de veces que se repite X. Llamémosla:Repotenciación.
Luego, para un X y n escritos con los símbolos del sistema numérico construido en clase (inicialmente), se tendría que en el:
SISTEMA ADITIVO
I=1
O=IIIIIII
X=OOOO
...
Cero Cuando X=O.
* Si n=I ⇒ IO = O = OI = OO0

* Si n=II ⇒ IIO = (O)O = O.O.O.O.O.O.O = OO = OOI
(O.O.O.O.O.O.O) .
(O.O.O.O.O.O.O) .
(O.O.O.O.O.O.O) .
* Sin=III ⇒ IIIO = (OO)O = (O.O.O.O.O.O.O)O = (O.O.O.O.O.O.O) . = OO.O = OOII
(O.O.O.O.O.O.O) .
(O.O.O.O.O.O.O) .
(O.O.O.O.O.O.O)

(O.O.O.O.O.O.O) . O
(O.O.O.O.O.O.O) .
(O.O.O.O.O.O.O) .
* Si n=IIII ⇒ IIIIO = ((OO)O)O = (O.O.O.O.O.O.O) . = = OO.O.O = OOIII
(O.O.O.O.O.O.O) .
(O.O.O.O.O.O.O) .
(O.O.O.O.O.O.O)


Nótese, que a medida que naumenta, también lo hacen la cantidad de O que se multiplican entre sí, de hecho aumentan bajo una regularidad y es que para cada n∈N y n>0 la cantidad de O en el producto obtenido al expandir nO, es On-I. De esta manera podemos generalizar el resultado de la siguiente manera:
* nO = OOn-I
Análogamente para X=X en nuestro sistema, se tiene que:
Cero
* Si n=I ⇒IX = X = XI = XX0
* Si n=II ⇒ IIX = (X)X = X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X = XX = XXI
* Si n=III ⇒ IIIX =(XX)X=(X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X)X = XX.X = XXII
En esta parte se evidencia que cuando n=III aparece X veces la base XX multiplicándose entre sí, pero como XX es repetir X veces la base X para que también se multiplique entre sí,luego la cantidad de X que se están multiplicando en este producto sería X.X=XII
Siguiendo la misma regularidad, también se obtiene que:
* Si n=IIII ⇒ IIIIX = ((XX)X)X = (XX.X)X = X(X.X).X = XX.X.X = XXIII

En general para cualquier n∈N y n>0, se infiere que:
* nX = XXn-I
Ahora, dado que O = IIIIIII y X = OOOO, la generalización también es posible aplicarla a números con más de unsímbolo, pues de hecho O y X están compuestos de varios símbolos. Así por ejemplo n(XOOIII) = XOOIIIXOOIIIn-I; la verificación de esta regularidad se hace de manera similar a como se realizaron las dos anteriores.
Luego, dado que funciona para cualquier número X del sistema convenido en clase, entonces es posible concluir que:
* .nX=XXn-I para cada n, X∈N y n, X>0.
Ahora, para el últimosistema adoptado:

SISTEMA POSICIONAL
I=1=O0
IIIIIII=O=OI
OOOOOOO=O.O=OII
OII OII OII OII OII OII OII=O. OII= OIII
OIII OIII OIII OIII OIII OIII OIII=O. OIII= OIIII
...
On On On On On On On= O.On= On+I, para cada n∈N y n≥0

La generalización de la regularidad encontrada en el sistema anterior también se puede expandir a este sistema y se realiza de la misma manera como se ha establecidohasta el momento, sin embargo hay que tener serio cuidado con el manejo de los exponentes. No obstante para evitar repetir el proceso con el fin de llegar a la misma generalización, se hace necesario introducir y comprobar de manera intuitiva, algunas propiedades de la potenciación que se usan usualmente en el estudio de los números naturales; además porque serán de gran utilidad al revisar laspropiedades que cumple la operación repotencia:
Algunas propiedades de la potenciación en N:
Para todo a,b∈N con a,b>0 y cada n,m∈N:
1) nI = n (Convención); a0 = I (Convención); In = I; 0n+I = 0
2) an. am = an+m; an/am = an-m con n≥m.
3) (an)m = an.m
4) (a.b)n = an.bn (a/b)n = an/bn donde a=k .b con k∈N y k>0.
Demostraciones (intuitivas):
(Nota: La palabra...