matematica financiera II

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Universidad Católica “Loa Ángeles”
de Chimbote

Julio Lezama Vásquez
Matemáticas Financieras II
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8. RENTAS PERPETUAS O VITALICIAS
Renta perpetua o vitalicia, es una anualidad cuyos pagos empiezan en una fecha
determinada y se prolongan indefinidamente en el tiempo.
En realidad, las anualidades de pagos infinitos no existen, porque enla práctica
todo tiene fin, pero si existen anualidades de periodos muy largos y en algunos
casos desconocemos el final y estas no sirven para analizar el tema.
Entre las diferentes formas de las llamadas rentas perpetuas se generan cuando se
coloca un capital y únicamente se retiran los intereses.
Todas las expresiones que cualifican a las anualidades, se aplican a las rentas
perpetuas; demanera que pueden presentarse como rentas perpetuas vencidas,
anticipadas, diferidas, etc.
Entre muchas otras las rentas que se pagan a perpetuidad son la renta de un
terreno, los legados de fundaciones con el objeto de dar origen a una renta
perpetua para fines de bien social, las inversiones en valores no redimibles
emitidos por el Estado, los seguros de vida, herencias, etc.
En lasrentas perpetuas, no es posible calcular su valor futuro o monto, debido a
que el número de períodos es indefinido, sin embargo es posible la cuantificación
del valor actual, el valor de la renta y de la tasa de interés.
8.1 Valor Actual de una Renta Perpetua Ordinaria
Las rentas ordinarias son pagadas al final de cada período
Fig. 8.1
P
R
R
R
R
R
|
|
|
|
|
|
0
1
2
3
4
n=∞
Paradeterminar el valor actual de una renta perpetua ordinaria, se divide la renta
periódica entre la tasa de interés.
La formula se obtiene partiendo del valor actual de una serie uniforme de pagos
ordinarios (FAS).

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Julio LezamaVásquez
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⎡ (1 + i )n − 1 ⎤
⎥
P = R⎢
⎢ i (1 + i )n ⎥
⎣
⎦
Operando algebraicamente:
n
R ⎡ (1 + i ) − 1 ⎤
P =
⎢
⎥
i ⎣ (1 + i )n ⎦
P =

n
⎤
R ⎡ (1 + i )
1
⎢
n −
n ⎥
i ⎣ (1 + i )
1 + i) ⎦

P =

⎤
R ⎡
1
⎢1 −
n ⎥
i ⎣
(1 + i ) ⎦

(

n

Si hacemos n = ∞ tendremos (1+i) = ∞
Luego

⎡1
⎡1⎤
⎢
n = ⎢ ⎥ = 0
⎣ω ⎦
⎣ (1 + i )
R ⎡
1⎤
1− ⎥
i ⎢
ω⎦
⎣

P =

R

P =

P=

i

R

P =

i

[1 − 0 ]
[1]
R
i

Formula que permite calcular el valor actual o presente de una renta ordinaria
perpetua o vitalicia.
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Para calcular la anualidad o renta de una perpetuidad se despeja R de la formula
anterior y se tiene:
R = Pi
Ejemplo 8.1 Una persona al fallecer deja en donación a un hospital para
ancianos sus inversiones con la finalidad de generar una renta a perpetuidad de
S/.100,000 alfinal de cada año. Si la tasa efectiva de interés es del 12% anual,
determinar el valor actual de la donación.
P

=

100,000
0.12

P = 833,333.33
Ejemplo 8.2: Encontrar el valor actual de una renta perpetua ordinaria de
S/.10,000 nuevos soles anuales a la tasa del 10% anual convertible
trimestralmente.
En este caso la tasa efectiva trimestral es 0.025, como la renta es anual,
calculamospreviamente la tasa efectiva anual y remplazamos en la fórmula
i

n

=

j ⎞
⎛
⎜1 + ⎟
m ⎠
⎝

=

0 . 10 ⎞
⎛
⎟ −1
⎜1 +
4 ⎠
⎝

−1
4

i

i =

0.10381289

Remplazando en la fórmula
P

=

P

=

10,000
0.10381289

96,327.15

También solucionamos el problema mediante el FDFA, haciendo n igual al
número de capitalizaciones al año llamado frecuencia de...