matematica financiera

Valor del dinero en el
tiempo

Valor del dinero en el tiempo


Tasa de cambio:

Imagine un artículo que ayer tenía un valor de 100 y hoy
tiene un valor de 110. En cuanto cambio:



En monto : 110-100 = 10
En tasa de cambio : (110-100)/100 = 0.10
= 0.10 * 100 = 10%

¿Que representa este 10%?

Valor del dinero en el tiempo


La diferencia, ya sea en monto o en tasa,representa lo
que usted tendrá que pagar o recibir demás (costo de
oportunidad).



¿Por qué?:

Porque el dinero tiene un valor en el tiempo

Valor del dinero en el tiempo

VP

+I

= VF

Valor
Presente

Interés

Valor
Futuro

Valor del dinero en el tiempo

VP

+I

Interés

Valor
Presente

= VF

Valor
Futuro

INTERES






Simple
CompuestoCompuesto capitalizable
Compuesto continuo

Interés Simple y
Compuesto

Introducción


El interés se define como el dinero que se paga por el
uso del dinero ajeno. También puede interpretarse como
el rendimiento que se tiene al invertir en forma
productiva el dinero.



Usaremos la letra I para referirnos al interés, VP para el
Valor Presente (Capital o Principal) y VF para elValor
Futuro.

VP
t=0

VF=VP+I
t=T

Introducción



Ahora, el Interés (I) corresponde a un porcentaje (%)
que se paga o recibe sobre el monto original (VP).



Este porcentaje corresponde a la tasa de interés (i). Así,
entonces:

I  VP * i


Donde I es el Interés, VP es el Valor Presente (capital) e
i es la tasa de interés.

Introducción


Recordemos que:VF=VP+I

VP

t=T

t=0


Ahora si:

I  VP * i

, entonces:

VF  VP  I  VP  (VP * i )  VP * (1  i )


Lo que es lo mismo:

VP (1  i )

Introducción

Pero:
¿Qué pasa con el tiempo?
¿Es indiferente?

Introducción







El tiempo, para estos efectos, se mide anualmente. Lo
denominaremos “n”.
Por simplicidad consideraremos un año calendario de
360 días.Si es una fracción de año, por ejemplo 3 meses sería:

90
n 
360


Si fuera un año sería:
n 

360
1
360

Introducción



Así, al cabo de un año tendremos:

VF  VP  I  VP  (VP * i )  VP * (1  i )


Al cabo de 2 años:

VF  VP  VP * i  VP * i  VP * (1  2 i )


Al cabo de 3 años:

VF  VP  VP * i  VP * i  VP * i  VP * (1  3 i )

Interés Simple

En general:

VF  VP (1  ni )


Esto es lo denominado INTERES SIMPLE.

Interés Simple



Cuando el interés es pagado sobre la suma original
(depositada o solicitada) y no sobre los intereses
subsiguientes devengados, se está hablando de interés
simple.

VF  VP (1  ni )  VP  VP * n * i
Capital +

Interés

Interés Simple



Ejemplo:



Si ustedsolicita prestado $1.000.000 para devolverlo en
3 años más con un 8% de interés anual simple de 8%
¿Cuánto debe cancelar al cabo de los 3 años?.

Interés Compuesto



Cuando el interés se cobra no sólo por el capital original
sino también sobre los intereses devengados, estamos
frente al interés compuesto:

VF  VP (1  i )

n

Interés Compuesto



Ejemplo:



¿Cuánto deberíacancelar usted al cabo de 3 años por
un préstamo de $1.000.000, con un interés de 8%
compuesto anual?

Interés compuesto capitalizable



Ahora, si el interés se capitaliza más de 1 vez al año
entonces:

i 

VF  VP  1 

m



n*m

Donde m corresponde al número de capitalizaciones en
el año y n al número de años.

Interés compuesto capitalizable



Ejemplo:Una empresa pide prestado $1.000.000 al 8%
de interés anual compuesto trimestralmente,
¿Cuánto debe cancelar al cabo de 3 años.

Interés Compuesto continuo







Puede suceder que el interés se compone
continuamente, aumentando "m" a tal punto que puede
aproximarse al infinito. Esto es lo que se denomina
Capitalización continua.
nm
i 
Cuando sucede esto, el término ...