MatematicaAnaysabel


REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN












Estudio de la Línea Recta




















1.- INTRODUCCION
En el siguiente trabajo haremos un estudio detallado de la línea recta ya que estas son de máxima importancia en la geometría analítica y sus aplicaciones. Pero antes de esto debemos empezar por saber la definición de una línea recta.Llamamos a una línea recta al lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera P1(x1, y1) y P2(x2, y2) del lugar, el valor de la pendiente m por medio de la fórmula

m = , x1 x2

2.1.- Distancia entre dos puntos dados. Sean P1(x1, y1) y P2(x2, y2)dos puntos dados. Vamos a determinar la distancia d entre P1 y P2, siendo d= │P 1 P 2│. Por P1 P2 tracemos las perpendiculares P1A y P2D a ambos ejes coordenados, como se indica en la figura, y sea E su punto de intersección. Consideremos el triangulo rectángulo P1 EP2. Por el teorema de Pitágoras, tenemos: d 2 = P1 P2 = P 2 E 2 + E P1 2

Las coordenadasde los pies de las perpendiculares a los ejes coordenados son A(x1, 0), B (0, y1), C (x2, 0), D (0, y2). Luego por el teorema 1 tenemos
P 2 E = CA = x1- x2, E P1 = DB = y1- y2
Sustituyendo estos valores en (1), obtenemos
d 2 = (x1- x2)2 + (y1- y2)2,
d =
Este resultado se enuncia como sigue:
Teorema 2: La distancia d entre dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) está dada por la fórmula
d =Notas: 1. En la demostración del teorema 2, no se hizo mención de los cuadrantes en que se encuentran los puntos P1 y P2. Según esto el resultado del teorema 2 es completamente general e independiente de la situación de los puntos P1 y P2. La posición de un punto en un cuadrante particular está determinada por los signos de sus coordenadas.
2. La distancia d es positiva, siendo P1 y P2 el valornumérico o absoluto de la longitud del segmento rectilíneo. Por esta razón no aparece en la fórmula ningún signo delante del radical. Debe entenderse, por convenio, que si no aparece ningún signo delante de la raíz cuadrada indicada de una cantidad, se considera siempre que se trata del valor positivo. Si se debe tomar la raíz cuadrada negativa, debe aparecer el signo menos delante del radical.Así, el valor positivo de la raíz cuadrada de una cantidad a se expresa por , el valor negativo por -, y ambos valores, el positivo y negativo por ±.

Ejemplo. Demostrar que los puntos
P1 (3, 3), P2 (-3, -3), P3 (-3,
Son vértices de un triangulo equilátero.
Solución. El triangulo del problema es el indicado en la imagen de arriba. Por el teorema 2 tenemos:
│P 1 P2│= = 6,
│P 2 P 3│=
=
= = 6,
│P 3 P 1│= = 6.
Luego el triangulo es equilátero, ya que todos sus lados son de igual longitud.
2.2.- Punto medio de un segmento. El punto medio de un segmento de recta es el punto que lo divide en dos segmentos de igual longitud. En geometría analítica, las coordenadas del punto medio m del segmento PQ, donde P=(x, y), Q=(x, y), secalculan mediante la fórmula
m = ( +)



2.3.- Pendiente de una recta. Dos rectas al cortarse forman dos pares de ángulos opuestos por el vértice. Por lo tanto, la expresión “el ángulo comprendido entre dos rectas” es ambigua, ya que tal ángulo puede ser el o bien su suplemento elPara hacer una distinción entre estos dos ángulos, consideramos que las rectas están dirigidas y luego establecemos la siguiente

Definición. Se llama ángulo de dos rectas dirigidas al formado por los dos lados que se alejan del vértice.
Así, por ejemplo, según esta definición, el ángulo que forman las rectas dirigidas I1 y I2 es el ángulo . Sin embargo, si la...