matematicas calculo

GUÍA DE TRABAJOS PRÁCTICOS – AÑO 2009
TEMA VI: INTEGRALES MÚLTIPLES

Objetivos
En este tema se pretende generalizar el concepto de integral del cálculo de una variable, al
de varias variables, como así también realizar transformaciones de coordenadas de un
sistema a otro, realizando las gráficas de las regiones de integración. Mediante diversas
aplicaciones interpretar geométricamente a laintegral doble.

CONTENIDOS:
Integrales dobles sobre rectángulos. Integrales dobles sobre regiones
más generales.
Cambio en el orden de integración.
Integrales triples sobre regiones rectangulares. Integrales triples sobre
regiones más generales.
Cambio de Variables. Fórmula del cambio de variables.
Aplicaciones de las integrales dobles y triples.

PREGUNTAS DE REPASO

I.

¿Qué esuna partición en ℜ 2 ? ¿y en ℜ 3 ?

II.

¿Qué es una suma de Riemann?

III.

Defina la integral doble de una función de dos variables sobre una región acotada en el
plano coordenado.

IV. ¿Cómo se evalúan las integrales dobles? ¿Cómo se determinan los límites de
integración?
V.

¿Qué propiedades tienen las integrales múltiples?

VI. ¿En qué casos es conveniente efectuarinversiones en el orden de integración?
VII. ¿Qué dice la fórmula del cambio de variables?
VIII. ¿Qué interpretación geométrica tiene el jacobiano de una transformación de variables?
IX.

¿Cómo se define el dA en coordenadas polares?

Cálculo II – Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Río Cuarto

VI.1

X.

¿Cómo se evalúan las integrales triples en coordenadas rectangulares? ¿Cómose
determinan los límites de integración?

XI.

¿Cómo se define el dV en coordenadas esféricas y cilíndricas?

XII. ¿Cómo podemos usar las integrales múltiples para calcular: masas, momentos de
inercia, centros de masa, valores promedios?

EJERCICIOS DE RESOLUCIÓN EN CLASE
2

1.

5

Use las curvas de nivel de la función

f ( x, y ) sobre la gráfica de la derecha

∫∫

paraaproximar

R

[

f ( x, y )dA , sobre el

10
1

13
20

] [

]

por sumas

18

13
5

25
-2
-2

30
45
-1

0
x

1

2

Evaluar las siguientes integrales iteradas:
(a)

∫−1∫0 (x

(b)

∫∫ x + y dxdy

1 1

4

)

y + y 2 dydx

⎧ x ≤1
⎪
R=⎨
⎪ y ≤1
⎩

R

3.

15

-1

de Riemann.

15
10

15

y 0

16

rectángulo R = −1, 2 × −1, 12.

16

Encontrar las integrales de las siguientes funciones sobre la región indicada.
sobre el triángulo de vértices: (0,0 ) , (0 , π) , (π , π) .

(a)

(b)

4.

f (x , y ) = x cos(x + y ) ;

f (x , y ) = x 2 − y 2 ; sobre la región limitada por el eje x y la curva y = senx , 0 < x < π

Esbozar la región de integración, intercambiar el orden y evaluar la siguiente integral
2 (x / 2 )+ 3

doble

∫ ∫ y dydx
0

.

x2

3 ex

5.

Invierta el orden de integración en la siguiente integral:

∫ ∫ f (x , y ) dydx .
0 1

VI.2

Cálculo II – Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Río Cuarto

6.

Calcular las siguientes integrales y dibujar las regiones de integración.

(a)

∫∫∫ 45 x

2

x=0
⎧
⎪
y=0
⎪
R=⎨
z=0
⎪
⎪4 x + 2 y + z = 8⎩

y dxdydz

R

(b)

x≥0
⎧
⎪
y≥0
⎪
R=⎨
z≥0
⎪
⎪x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1
⎩

∫∫∫ xyz dxdydz
R

7.

Efectuando un adecuado cambio de variables, calcular:

∫∫ dx dy , donde

R es la región

R

limitada por el paralelogramo cuyos vértices son: (0,0), (6,2), (10,5) y (4,3).
8.

Encuentre el área del rectángulo limitado por las rectas: y = − x + 3 , y = − x − 5 , y = x + 1,y
y = x − 2 , mediante un adecuado cambio de variables.

9.

Hallar el área de cada una de las tres partes que quedan determinadas cuando la
hipérbola x 2 − 2 y 2 = 1 corta al círculo x 2 + y 2 = 4 .

10. Calcule el área de la región comprendida entre los dos círculos: x 2 + y 2 = 4 x y

x2 + y 2 = 2 y .

11. Determinar el área de cada una de las siguientes regiones definidas en...