MATEMATICAS ECONOMIA

MAT1

ADE+DADE+TADE+ECO

Universitat d’Alacant

2014-15

BLOQUE I: FUNCIONES de una VARIABLE. CONTINUIDAD
1. Conceptos básicos: Dominio, rango y gráfica de una función
2. Funciones elementales
3. Función inversa
4. Definición de límite. Límites laterales, infinitos y en el infinito
5. Propiedades de los límites
6. Cálculo de límites
7. Continuidad
8. Tipos de discontinuidad
9.Propiedades de las funciones continuas
10. Teoremas del valor intermedio, Bolzano y Weierstrass

1. Conceptos básicos: Dominio, rango y gráfica de una función
1.1. Introducción


La recta real: tipos de números
o Naturales:

0,1,2,3,…




...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...
a

, a   ,b   ,b  0
o Racionales:
b
o Irracionales:
2  1.41,   3.14, e  2.72, ...
o Enteros:


oReales = racionales unión irracionales
o La recta real (línea infinita)
o Operaciones con números reales: suma, resta, multiplicación, el inverso (¿cuándo
existe?), división (¿cuándo se puede?), potencias (naturales, enteras, racionales),…


Intervalos de números reales (ejemplos e idea gráfica en la recta real)
o Intervalo abierto
(a,b)  x   : a  x  b
o Intervalo cerrado
[a,b] x   : a  x  b
o Intervalos no abiertos, no cerrados
 [a,b)  x   : a  x  b , (a,b]  x   : a  x  b
o Intervalos infinitos:
(a, )
 [a, )
( ,b)
 ( ,b]
 ( , )  



Valor absoluto de un número real:
 x si x  0
o x 
x   x2
x  max x, x
x si x  0

o Alguna propiedad:
 xy  x  y
(la igualdad no siempre se da)
 xy  x yDepartament de Mètodes Quantitatius i Teoria Econòmica. Universitat d’Alacant

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o
o

x   : x  a  R
x   : x  a  R
x   : x  a  R

intervalo cerrado de centro a y radio R

Ejemplos: determinación del conjunto de números reales definido con valor absoluto y
desigualdades
o x   : x  3  2  
o
o



2014-15

Conjuntos de númerosreales expresados usando el valor absoluto:
o x   : x  a  R
intervalo abierto de centro a y radio R
o



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x   : x  1  5  
x   : x  2  8  

Entorno de un punto a con radio 
 idea intuitiva con  pequeño
 x   : x  a  
(abierto)


x   : x  a  

(cerrado)

1.2. Coordenadas cartesianas: origen, ejes, puntos en el plano

El plano 2 : pares de números reales
o 2  (x,y): x   ,y  



Representación gráfica
o El origen de coordenadas (0,0)
o Los ejes X, Y
 X  (x,0): x 
 Y  (0,y): y  

(eje horizontal)
(eje vertical)

o Los cuatro cuadrantes

(x,y)  

2

: x  0, y  0

(x,y)  

2

: x  0, y  0

(x,y)  

2

: x  0, y  0

(x,y)  

2

: x 0, y  0

o Situación gráfica de un punto en el plano: situar diversos puntos
Departament de Mètodes Quantitatius i Teoria Econòmica. Universitat d’Alacant

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2014-15

Conjuntos en el plano:
o Representación gráfica y analítica de la unión e intersección de conjuntos en el
plano
o Idea gráfica de una recta en el plano: dibujoo ¿Cómo pueden ser dos rectas?: son paralelas, o se cortan en un único punto (idea
gráfica)

1.3. Concepto de función real de variable real


Concepto:
o Regla que asigna a cada número real x de un conjunto D (incluido en el eje X: recta
real) un único número real y
 xy
o Ejemplo: regla que asigna a cada número su doble: y  2x
0'5  1;
20  40;
3'22  6'44; ...
 0  0;
oNotación: para representar una función se usa el símbolo y  f(x) que indica que el
número y es la imagen del número x
 x  y  f(x)
o Cada número real x junto con su imagen f(x), determina un punto en el plano. El
conjunto de todos estos puntos se denomina gráfica de la función :
 Gf   x,f(x) 
o Ejemplo: gráfica de la función que a cada número real le asigna su doble:
Gf  ...