Matematicas Funciones

Sea f: X-> Y una función. Afirmamos que f es biyectiva si y solo si tiene inversa.

Demostración:

Supongamos que f tiene unainversa g: Y-> X.
Afirmamos que f es inyectiva. Sean x_1, x_2 puntos de X y supongamos que f(x_1) = f(x_2). Luego aplicando g en amboslados g(f(x_1)) = g(f(x_2)).
Dado que g es la inversa de f entonces la composición g o f es la identidad en X. Luego x_1= x_2 de dondef es inyectiva.

Veamos que f es sobreyectiva. Sea y un elemento de Y. Pongamos x=g(y) y note que g(y) esta en X. Luego f(x) =f(g(y)) = (f o g)(y) = y así dado y en Y existe x en X tal que f(x)=y. Esto implica por definición que f es sobreyectiva.

Así que f esbiyectiva.

Ahora por otro lado, supongamos que f es biyectiva. Construyamos una inversa g: Y-> X de f como sigue.
Primero nota quepara cada y en Y existe un elemento x en X tal que y=f(x), esto se sigue por el hecho de que f es sobreyectiva (como es biyectiva enparticular es sobreyectiva).
Además dicho elemento x es único pues si existiera z en X tal que y=f(x)=f(z) luego x=z pues f esinyectiva.
Ahora pongamos g(y) = x. Por lo anterior g es una función.

Resta ver que g es una inversa para f.

Sea x en X. Luego (g of)(x) = g(f(x)) =g(y) = x.
Sea y en Y. Luego (f o g)(y) = f(g(y)) = f(x) = y.

Así g: Y-> X es la inversa de f: X-> Y y acabamos.