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UNIVERSIDADES PUBLICAS
DE LA COMUNIDAD DE MADRID
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PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSENANZAS
UNIVERSITARIAS
OFICIALES DE GRADO
Curso 2013-2014
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MATERIA: MATEMATICAS
II
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INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACION
Despu´es de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deber´a escoger una de las dos opciones
propuestas y responder razonadamente a las cuestiones de la opci´on elegida. Parala realizaci´on de esta
prueba se puede utilizar calculadora cient´ıfica, siempre que no disponga de capacidad de representaci´
on
gr´afica o de c´alculo simb´
olico. Todas las respuestas deber´
an estar debidamente justificadas.
Calificaci´
on: Las preguntas 1a y 2a se valorar´an sobre 3 puntos; las preguntas 3a y 4a sobre 2 puntos.
Tiempo: 90 minutos.
´ A
OPCION
Ejercicio 1 .Calificaci´
on m´
axima: 3 puntos.
Dada las matrices:




α β γ
x
A= γ 0 α ,
X= y ,
1 β γ
z
se pide:




1
B= 0 ,
1




0
O= 0 ,
0




1
a) (1,5 puntos) Calcula α, β, γ para que  2  sea soluci´on del sistema AX = B.
3
b) (1 punto) Si β = γ = 1 ¿Qu´e condici´on o condiciones debe cumplir α para que el sistema lineal
homog´eneo AX = O sea compatibledeterminado?
c) (0,5 puntos) Si α = −1, β = 1 y γ = 0, resuelve el sistema AX = B.

on m´
axima: 3 puntos.
Ejercicio 2 . Calificaci´

{

Dados el punto P (1, 0, 1), el plano π ≡ x + 5y − 6z = 1, y la recta r ≡

x = 0,
z = 0,

se pide:

a) (1 punto) Calcular el punto P ′ sim´etrico a P respecto de π.
b) (1 punto) Hallar la distancia de P a r.
c) (1 punto) Calcular el volumen deltetraedro formado por el origen de coordenadas O(0, 0, 0) y
las intersecciones de π con los ejes coordenados OX, OY y OZ.
on m´
axima: 2 puntos.
Ejercicio 3 . Calificaci´
a) (1 punto) Sea f : R −→ R una funci´on dos veces derivable. Sabiendo que el punto de abscisa
x = −2 es un punto de inflexi´on de la gr´afica de f (x) y que la recta de ecuaci´on y = 16x + 16 es
tangente a la gr´afica de f(x) en dicho punto, determinar:
f (−2),

f ′ (−2)

y f ′′ (−2).

b) (1 punto) Determinar el ´area de la regi´on acotada limitada por la gr´afica de la funci´on g(x) =
x4 + 4x3 y el eje OX.
Ejercicio 4 . Calificaci´
on m´
axima: 2 puntos.
Calcular justificadamente:
a)

1 − 2x − ex + sen(3x)
.
x→0
x2
l´ım

b)

(5x2 + 2)(x − 6)
.
x→∞ (x2 − 1)(2x − 1)
l´ım

´ B
OPCIONEjercicio 1 . Calificaci´
on m´
axima: 3 puntos.
Dada la funci´on
{
a + ln(1 − x) ,
f (x) =
x2 e−x ,

si x < 0 ,
si x ≥ 0 ,

(donde ln denota logaritmo neperiano) se pide:
a) (1 punto) Calcular l´ım f (x) y l´ım f (x).
x→∞

x→−∞

b) (1 punto) Calcular el valor de a, para que f (x) sea continua en todo R.
c) (1 punto) Estudiar la derivabilidad de f y calcular f ′ , donde seaposible.

Ejercicio 2 . Calificaci´
on m´
axima: 3 puntos.
{
x = 1,
Dados el plano π ≡ 2x − y = 2, y la recta r ≡
se pide:
y − 2z = 2 ,
a) (1 punto) Estudiar la posici´on relativa de r y π.
b) (1 punto) Determinar el plano que contiene a r y es perpendicular a π.
c) (1 punto) Determinar la recta que pasa por A(−2, 1, 0), corta a r, y es paralela a π.

Ejercicio 3 . Calificaci´
on m´axima: 2 puntos.
Dada la matriz:



−1
A =  −3
0


−1 a
2
a ,
a −1

se pide:
a) (1 punto) Hallar el valor o valores de a para que la matriz A tenga inversa.
b) (1 punto) Calcular la matriz inversa A−1 de A, en el caso a = 2.
Ejercicio 4 . Calificaci´
on m´
axima: 2 puntos.
Por la compra de cinco cuadernos, dos rotuladores y tres bol´ıgrafos se han pagado veintid´os euros. Sise compran dos cuadernos, un rotulador y seis bol´ıgrafos, el coste es de catorce euros. Se pide:
a) (1 punto) Expresar, en funci´on del precio de un bol´ıgrafo, lo que costar´ıa un cuaderno y lo que
costar´ıa un rotulador.
b) (1 punto) Calcular lo que deber´ıamos pagar si adquirimos ocho cuadernos y tres rotuladores.

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MATEMATICAS
II
´ Y CALIFICACION
´
CRITERIOS ESPEC´
IFICOS DE...