Matematicas V

1. GEOMETRÍA ANALÍTICA
1.1. Distancia entre dos puntos
El sistema de coordenadas rectangulares divide al plano en cuatro cuadrantes por medio de dos rectas
perpendiculares que se cortan en un punto O.
Ordenada

Las rectas perpendiculares xx' y yy' se llaman ejes coordenadas.
La horizontal xx' es el eje de las x.
La vertical yy' es el eje de las y.
El punto O se llama origen del sistema.Abscisa

Si P es un punto del plano; su distancia al eje "y" se llama abscisa
y se representa por x, y su distancia al eje de las x se llama
ordenada, representándose por y.
La abscisa y la ordenada constituyen las coordenadas del punto en
cuestión.
Para expresar que el punto P tiene como coordenadas x, y, se emplea la siguiente notación:
P(x, y). Siempre se escribe la abscisa primero.Para representar puntos de coordenadas conocidas hay que adoptar una escala adecuada sobre cada uno de
los ejes coordenadas. Ambas escalas pueden ser iguales o distintas.

Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos del plano está dada por
la expresión algebraica:

pp  ( x2  x1 ) 2   y 2  y1  …….(1)
2

Ejemplo:
¿Cuál es la distancia Entre los puntos A  1, 2 y B5, 10 ?
a)

10 u

b)

50u

c) 10u

d) 100u

Solución:
Al sustituir x1 , y1    1, 2 y x2 , y2   5, 10 en la fórmula de la distancia se obtiene:
2
2
AB  ( x2  x1 ) 2   y2  y1   AB  (5   1) 2  10  2

AB  (5  1) 2  10  2  (6)2  8  36  64  100  10 Unidades.
2

2

1

Punto de división de un segmento en una razón dada
Sean

P1 x1 ,y1  y P2 x2 , y 2  los extremos de un

segmento y

P x , y  un punto que divide al segmento

en dos partes proporcionales, denominado punto de
división.
Razón de proporcionalidad:

r



P1 P x  x1 y  y1


PP2 x2  x y 2  y …….(2)

Si el punto de división P está entre los puntos P1 y P2 la razón es positiva.
Si el punto de división no está entre los puntos dadosentonces la razón es negativa.

Coordenadas de los puntos de división P( x, y )

x1  rx2
…….(3)
1 r
y  ry2
Y 1
1  r …….(4)
X 

Ejemplo:
Dados los puntos

A P1  2,4 y B P2 6,2 ¿Cuáles son las coordenadas del punto Px, y  que divide al

segmento en una razón

a)

1

  4, 
2


r

P1 P
3
PP2
b)

1

 4, 
2


 1 
,4 
 2 

c)  d)

1 
 , 4
2 

Solución:
Al sustituir x1 , y1    2,4 y x2 , y 2   6,2 yr=3 en las formulas:

X 

x1  rx2  2  (3)(6)  2  18 16



4
1 r
1 3
4
4

Y

y1  ry2 4  (3)(2) 4  6  2
1




1 r
1 3
4
4
2

El punto de división es

1

 4,  .
2


Punto medio

Las coordenadas del punto Px, y  que dividen elsegmento formado P1 x1 , y1  y P2 x2 , y 2  en dos partes
iguales están dadas por las formulas:

2

x1  x 2
…….( 5)
2
y  y2
Ym  1
2
…….(6)
Xm 

Ejemplo:
¿Cuáles son las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos P1  4,1yP2 2,5 ?
a)

 3,  2

b)

3,  1

c)  1, 3

d) 1,  3

Solución:

X 

x1  x2  4  2
2


 1 ,
2
22

Y

y1  y 2 1  5 6

 3
2
2
2

Las coordenadas del punto medio son (-1,3).

Instrucciones: resuelve de manera adecuada cada uno de los siguientes ejercicios.
1. ( ) En las coordenadas (3,-1) se encuentra un registro de cableado telefónico; en el punto de coordenadas
(5,4) se ubica la punta de una antena de señal telefónica. ¿Cuál es la distancia entre el registro y la puntade la
antena?
A)

7

2. (

) Una casa se encuentra distribuida como se ilustra en el siguiente plano arquitectónico:

B)

13

C)

29

D)

37

Las coordenadas del centro del comedor y las coordenadas del centro del baño son, respectivamente:
A) (1, 1) y (1, -2)

B) (-1, 1) y (1, 2)

C) (-1, 1) y (1, -2)

D) (1, -1) y (-1, -2)

3. (
) En una unidad habitacional...