matematiques

Matem`tiques 100872
a

Bioqu´
ımica
Curs 2011-2012

`
RESUM TEORIC I: N´ meros, funcions i gr`fiques.
u
a

1. Equacions i Inequacions
En matem`tiques, sovint distingim entre una igualtat i una equaci´. Una igualtat ´s una equival`ncia
a
o
e
e
entre dues expressions algebraiques, la qual ´s certa independentment dels valors de les variables. Una
e
equaci´ ´s una igualtat entredues expressions algebraiques que nom´s ´s certa per a certs valors de
o e
e e
les variables; aquests valors s’anomenen solucions. Per exemple,
(x + 1)2 = x2 + 2x + 1
´s una igualtat i, en canvi,
e
x2 − 5x + 6 = 0
´s una equaci´, les solucions de la qual s´n x = 2 i x = 3.
e
o
o
Una desigualtat ´s una expressi´ que compara la mida o la posici´ de dos n´meros o expressions.
e
o
o
uRecordeu que escrivim a < b per a dir que a ´s m´s petit que b i si escrivim a > b estem dient que a
e
e
´s m´s gran que b. Escrivim a ≤ b per a dir que a ´s m´s petit o igual que b i a ≥ b significa que a ´s
e
e
e
e
e
m´s gran o igual que b.
e
Una inequaci´ ´s una expressi´ que afirma que dos objectes o expressions no s´n iguals o no representen
oe
o
o
el mateix valor. Per exemple,3x − 6 ≤ 0

o b´ x2 − 5x + 6 ≥ 0.
e

Com en el cas de les equacions, els valors de les variables pels quals ´s certa la inequaci´ s’anomenen
e
o
solucions. Com podem determinar les solucions d’una inequaci´?
o
Abans de resoldre aquesta q¨esti´ recordem la noci´ seg¨ent: un interval ´s un conjunt de nombres
u
o
o
u
e
reals entre dos nombres donats. Un interval ´s obert si no cont´els extrems i escrivim (a, b). Per
e
e
contra, un interval ´s tancat si cont´ els extrems i s’escriu [a, b]. Si no ´s ni obert ni tancat, sovint
e
e
e
es parla de semi-obert o semi-tancat. Recordeu que si un dels extrems ´s ∞, escrivim un par`ntesi.
e
e
Noteu tamb´ que (a, +∞), (−∞, b) i (−∞, +∞) s´n intervals oberts, mentre que [a, +∞) i (−∞, b]
e
o
es consideren intervals tancats.Anem ara a resoldre inequacions...
1. Inequacions lineals. Es resolen d’una manera semblant a les equacions lineals, per` cal tenir
o
en compte que:
(a) Es pot sumar o restar un mateix n´mero als dos costats d’una inequaci´.
u
o
(b) Si multipliquem (o dividim) una inequaci´ per un mateix n´mero positiu, la inequaci´ es
o
u
o
mant´ per` si el n´mero ´s negatiu, la inequaci´ s’inverteix.e
o
u
e
o
Exemple: resoldre la inequaci´
o
3x + 6 ≤ 5x − 5
Passem totes les x’s a un costat i els n´meros a l’altre. Aix´ sempre conv´ fer-ho de manera que
u
ı
e
el coeficient de les x’s sigui positiu:
3x + 6 ≤ 4x − 5 ⇔ 6 + 5 ≤ 5x − 3x ⇔ 11 ≤ 2x ⇔ 11/2 ≤ x
1

A l’exemple anterior, hi hauria hagut m´s risc d’error si hagu´ssim transformat la inequaci´
e
e
o
original en:
3x − 5x≤ −5 − 6 ⇔ −2x ≤ −11 ⇔ 11 ≤ 2x ⇔ 11/2 ≤ x
Per tant la soluci´ de la inequaci´ ´s l’interval [11/2, +∞).
o
oe
2. Inequacions quadr`tiques. S´n inequacions del tipus ax2 + bx + c > 0 resp. < 0, ≤ 0 o ≥ 0.
a
o
Les podem resoldre geom`tricament o anal´
e
ıticament.
M`tode geom`tric
e
e
Es basa en l’estudi de la gr`fica de la funci´ y = ax2 + bx + c, que ´s una par`bola. Si a > 0, la
a
oe
a
par`bola ´s convexa ( t´ un m´
a
e
e
ınim) i si a < 0 la par`bola ´s c`ncava ( t´ un m`xim). Els punts
a
e o
e
a
de tall de la par`bola amb l’eix de les X s´n justament les arrels de l’equaci´ ax2 + bx + c = 0.
a
o
o
Per tant si α < β s´n les arrels, la forma de la gr`fica ens diu que x ´s soluci´ de la inequaci´
o
a
e
o
o
2 + bx + c > 0 si i nom´s si x < α o x > β, es adir, el conjunt soluci´ ser` (−∞, α) ∪ (β + ∞)
ax
e
o
a
mentre que si a < 0 , el conjunt soluci´ ´s l’interval (α, β). Exemple: resoldre la inequaci´
o e
o
2x2 − 4x − 6 > 0.
(a) Resolem l’equaci´ 2x2 − 4x − 6 = 0. Les arrels s´n x = −1 i x = 3.
o
o
(b) Com que a = 1 > 0, la gr`fica de y = 2x2 − 4x − 6 ´s una par`bola convexa que talla l’eix
a
e
a
de les X als punts x = −1 i x = 3....