Matemáticas Ccss Solucionario Tema 1

Solucionario

1

Matrices
ACTIVIDADES INICIALES

1.I. Señala el número de filas y columnas que componen las tablas de cada uno de los siguientes ejemplos.
a) Un tablero de ajedrez.
b) Una quiniela de fútbol.
c) El cuadro de un sudoku.
a) Ocho filas y ocho columnas.
b) Quince filas y tres columnas.
c) Nueve filas y nueve columnas.
1.II. Describe tres o cuatro situaciones de la vidacotidiana en las que manejemos tablas numéricas.
Respuesta abierta
1.III. Los cuadrados mágicos tienen la propiedad de que la suma de los elementos
de sus filas, columnas o diagonales es siempre la misma.
Completa este cuadrado para que sea mágico.
Sumamos los términos de la diagonal que está completa.
4 + 6 + 11 + 13 = 34
Como el cuadrado debe ser mágico, todas las filas y columnas debensumar 34. Con
esta información hallamos los términos
desconocidos.




1.IV. Escribe el vector v 1 = (3, –2) como combinación lineal de los vectores v 2 = (1, 3) y v 3 = (–1, 0).



Hay que encontrar dos números reales, a y b, no simultáneamente nulos, tales que: v 1 = av 2 + bv 3


Sustituyendo los vectores v 1 , v 2 y v 3 en la expresión anterior, se obtiene:
(3, –2) = a(1,3) + b(–1, 0) = (a, 3a) + (–b, 0) = (a – b, 3a)
Igualando las componentes resulta:
3 = a − b
2
−2
−2
−11
3=
−b  b = − −3 =
a=
− 2 = 3a 
3
3
3
3


−2 
11 
v2 −
v3
Por tanto, el vector v 1 se puede escribir como combinación lineal del siguiente modo: v 1 =
3
3

EJERCICIOS PROPUESTOS
i−j

1 + 2


1.1. Escribe una matriz A de orden 3 × 2 tal que: aij =  i⋅ j

 ( − 2)i





Haciendo los cálculos correspondientes, la matriz A sería: A = 





4

si i > j
si i = j
si i < j
1
3
2
2

Solucionario


− 2

2

3

2

1.2. Los pueblos A, B, C, D y E están unidos por carreteras de doble sentido tal y como muestra la figura.
Escribe la correspondiente matriz de adyacencia.
B

C

A

E

D

 01 0 0 1


 1 0 0 1 1
 0 0 0 1 1
0 1 1 0 0

 1 1 1 0 0



1.3. Dadas las matrices:

− 2

A= 3
2


1

B = 0
0


0

5
1


1
3
−2

0
−1
2

0

3
2


Calcula:
a) 3A + 2B

b)

−2

a) 3 A + 2B = 3 ⋅  3
2


b)

− 2
1
1
A − 3B = ⋅  3
2
2
2

0
1


5 + 2 ⋅ 0
0
1



1
3
−2
1
3−2

0
1


5 − 3 ⋅ 0

0
1


 −6
9

6


1
A − 3B
2

0
−1
2

0

3 =
2


0
−1
2

1


0
−1
2
0 
 3

3
3 5 
3 = 
−0
2
2 2 

2 
 0

1
 1 −1

2


3
9
−6

0 2
15  +  0

3 0


0   −4
6 =  9

4  6


0
−2
4


− 4
0 
3

9 = 
2
6 
1


0
−36

3
7
−2
1
2
9
2
−7

0
21

7


0

13 
−
2
11 
−
2

1.4. Dadas las matrices siguientes, comprueba si se verifica la propiedad (A + B)t = At + Bt y calcula:
 −3 4
A=
− 1 2

1

B= 2
−3


1
b) 4A – B
2

2

0

a) −2A + 3B

− 3

At =  4
2


1

2
− 1
t
2 , B =
0

0
 −2




6
a) − 2 A + 3B = 2

−8
−4

1
 − 12 16
b) 4 A − B = 
8
2
 −4


−3 

1
A+B=
3

−1



3
− 4 

+ 2
0
−9
1
8  4
−
0  3
−
2

0
1
0
1
6

5
−
2
−4



4
7
3

  15
− 6 
=
2
− 3  − 7
  49
−1  −
= 4
1  5
−  −
2  2

Solucionario


0
  (A + B)t =
− 1



−8
−3


− 10 

−3 

9
1

2

16
47
6

5

0
1
3

5
−
2
4


0



− 2

− 1




− 4

7
t
t
=A +B
3

−1


Solucionario
1.5. Dadas las matrices
 1 1 1 0


A = 2 1 1 0
2 3 1 2



2 1 0


B = 3 2 0 .
 1 0 1



Explica razonadamente si puedes realizar los productos AB y BA. En caso afirmativo halla los resultados.
La...