matenaticas conjugada

 Inducción matemática
En matemáticas, la inducción es un razonamiento que permite demostrar proposiciones que dependen de una variable que toma una infinidad de valores enteros. En términos simples, la inducción matemática consiste en el siguiente razonamiento:
El número entero  tiene la propiedad . El hecho de que cualquier número entero  también tenga la propiedad implica que  también latiene. Entonces todos los números enteros a partir de  tienen la propiedad 

Historia
En el Parmenides, diálogo de Platón del 370 a.C, quizá se puede identificar un temprano ejemplo de una explicación implícita de prueba inductiva. La más antigua huella de la inducción matemática se puede encontrar en la demostración de Bhaskara que usando el "método cíclico" prueba la infinidad de los numeroprimos.
Una técnica opuesta, contando regresivamente en lugar de ascendentemente, se puede encontrar en la paradoja sorites, en donde se argumenta que si 1.000.000 de granos de arena forman un montón y removiendo un grano del montón este sigue siendo un montón, entonces, un solo grano (incluso ningún grano de arena) forma un montón.
Una implícita demostración de la inducción matemática parasecuencias aritméticas fue introducida por Al-Karaji en la obra Al-Fakhri escrita alrededor del 1000 d.C, usado para probar el teorema binomial y propiedades del triángulo de Pascal.
Ninguno de estos antiguos matemáticos explicitó la hipótesis inductiva. Otra caso similar fue el de Francesco Maurlico en su Arithmeticorom libri duo (1575), que usó la técnica para probar que la suma de los n primerosenteros impares es igual a n al cuadrado.
Principio de Inducción Matemática
Conjuntos Inductivos.
Intuitivamente se obtienen los enteros positivos, tomando como punto de partida un primero designado por "1" y formando 1 + 1 (llamado "2"), 2 + 1 (llamado "3"), y así sucesivamente.
En virtud de que no se puede depender del significado un poco oscuro de "y así sucesivamente" y de que se debe tener unabase para proporcionar teoremas relativos a los enteros positivos, se da una definición del conjunto de los enteros positivos, basada en el concepto de conjunto inductivo. 
 
Definición. Un conjunto S de números es un conjunto inductivo sí y sólo sí S tiene las siguientes propiedades: 
 


Ejemplo 1.
El conjunto de los enteros positivos es un conjunto inductivo. 
 
Ejemplo 2.
Elconjunto de los números Reales es un conjunto inductivo. 
 
Ejemplo 3.
El conjunto  S1 = {1, 3, 5, 7, ...} no es un conjunto inductivo, porque no obstante que 1  S1; (1+1)S1.
El conjunto  Z+ es el conjunto de números con la propiedad de que si k es cualquier conjunto inductivo de números, entonces Z+ k. Se dice a veces, que el conjunto de los enteros positivos, es el "más pequeño" conjunto inductivode números. 
 
Teorema fundamental de Inducción Matemática.
Sea Sn una función proposicional cuyo conjunto de referencia es Z+. Si Sn satisface las siguientes dos condiciones: 
 

Entonces Sn es cierta para todo n  Z+. 
 
Demostración

Sea k el conjunto de todos los enteros positivos para el cual Sn es cierta. Es decir:


De i. se observa que 1  k.
De ii. se observa que  k  k  (k +1)k.
Por tanto k es un conjunto inductivo y por la definición de k se sabe que k  Z+.
De otra parte  Z+ k. Por consiguiente  Z+= k, es decir Sn es cierta para todo n  Z+. 

Ejemplo 4.
Demuestre que la suma de los primeros n enteros impares positivos es  n2.
Sea  Sk= 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k -1) = kn (hipótesis de inducción)
Entonces hay que demostrar que S1 es cierta y que Sk Sk+1 escierta.
s1= 1 = 12 
sk+1 = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k - 1) + (2k + 1)
Entonces,  sk+1 = sk + (2k + 1) = k2+ 2k + 1 = (k + 1)2
Con lo anterior queda demostrado que la suma de los n impares positivos es n2. 

La primera formulación explícita sobre el principio de inducción fue establecida por el físico y matemático Blaise Pascal en su obra Traité du triangle arithmétique (1665).2 Otro francés,...