MATERIAL DE APOYO SOBRE VECTORES

Departamento de Física y Química


Material de apoyo sobre Vectores

Las magnitudes vectoriales se pueden representar como vectores (segmentos
orientados que tienen módulo, dirección y sentido), y realizar con ellos sencillas
operaciones matemáticas tales como suma o resta. En el inicio de este material de
apoyo os voy a explicar lo más sencillo que me sea posible estas cuestiones.Imaginemos que estamos situados en una esquina de una habitación,
exactamente en la intersección de tres ejes, que a su vez se originan por la
intersección de dos planos, como indica la figura.
Z
k
Y

j
i
OO

X

Nosotros somos el punto O, observador, Los ejes los denominamos X, Y y Z.
Supongamos que una persona está situada a una distancia de 3 metros de nosotros,
¿crees que será unespacio o una posición?. Indudablemente podemos decir que es un
espacio o distancia, no es una posición pues si trazáramos con una esfera de 3 metros de
radio en cualquiera de los infinitos puntos de ella podría estar ese objeto o persona.
Luego la posición para ser definida necesita algo más. Supongamos que el objeto está a
3 m, sobre el eje de las X y en su sentido positivo OX, ahora sí quedadefinida la
posición del objeto, pero para ello hemos debido de dar además de su módulo, su
dirección y sentido. Una forma más simple de decir lo anterior es por medio, digamos
de una “clave”, vamos a definir un vector unitario que tiene por módulo la unidad, por
dirección el eje XX´ y por sentido el sentido positivo del eje : OX, ese vector unitario se
llama i . De esta manera, la posición delobjeto será 3i m. Del mismo modo se definen
otros vectores unitarios sobre el eje Y y sobre el eje Z, sentido positivo, que son
respectivamente los vectores unitarios j y k. Así, si decimos que tenemos los
objetos A, B, C, D y E, en las posiciones 2 i ; - 5 j ; 3 k ; - 4 i y 6 j metros,
respectivamente, quiere decir:
A: 2 i, está situado a 2 metros del observador, sobre el eje de las X y ensentido
positivo OX.
B: - 5 j, está situado a 5 metros del observador, sobre el eje de las Y y en sentido negativo
OY´.
Z
X´

3k

- 4i

-5j

6j

Y´

Y
X

Física y Química

2i

O
Z´

Prof. José L. Jiménez Trillo

Departamento de Física y Química

Curso 2010-2011

C: 3 k, está situado a 3 metros del observador, sobre el eje de las Z y en sentido positivo
OZ.
D:- 4i, está situado a 4 metros del observador, en el eje de las X, pero en sentido
negativo OX´.
E: 6 j, está situado a 6 metros del observador, en el eje de las Y, en su sentido positivo
OY.
No siempre los cuerpos están situados sobre los ejes, ¿qué ocurrirá cuando estén
en un plano o cuando estén en el espacio?. Sabemos que todo punto en un plano queda
definido por dos coordenadas, porejemplo si está situado en el plano XY serán (x,y). Si
ese punto lo proyectamos sobre los ejes (trazamos perpendiculares a los ejes) nos dará
los vectores x i e y j , el nuevo vector situado sobre el plano tendrá por componentes
a los vectores x i e y j, y se expresa : x i + y j m. Por ejemplo: si nos fijamos en el
dibujo, este vector tiene un módulo, una dirección y un sentido, la dirección y elsentido parece que queda claro en el dibujo, ¿pero qué ocurrirá con su módulo?, ¿es
decir, a cuántos metros está situado del observador?. Para ello nos bastará aplicar el
teorema de Pitágoras al triángulo OAB, así si el vector
OP = x i + y j , su módulo
x 2 + y2

es | OP| =
Y

O

P
y

O

j
O

O

i

O

x

O

X

O

A los valores de x, y de y, se les llama componentescartesianas de un vector. Como
comprenderéis estos valores pueden ser positivos o negativos, según la proyección del
extremo del vector si está sobre el sentido positivo o negativo de los ejes, y además
pueden ser cualquiera de los pares de valores de los vectores unitarios i, j o k según sea
el plano. Veamos algunos ejemplos y calculemos su módulo.
a= 2i+3j

b=-3i+3k

c=-4i +2j...