material de matematicas

Integración por Partes
La integración por partes, es un método que surge de la fórmula de la derivada de un producto.
Derivada de un Producto
Despejando
Integrando laexpresión
Formula de Integración por partes
Con esta formula se puede transformar una integral en otra que, si es de más fácil calculo, nos permitirá resolver la integral inicial.
Pararesolver la integral por partes se considerara:
a) La parte que se iguala a debe de ser fácilmente integrable.
b) no debe de ser más difícil que



1)Sustituyendo en
Tenemos
Resultado


2)

Sustituyendo en
Tenemos
Resultado

3)

Sustituyendoen
Tenemos
Tenemos
Resultado


4)

Sustituyendo en
Tenemos
Tenemos
Resultado


5)Sustituyendo en
Tenemos
Tenemos
Tenemos
Resultado

6)

Sustituyendo en
TenemosTenemos
Resultado



7)

Sustituyendo en
Tenemos
Tenemos

Observa como es necesario realizar una segunda integración por partesRealizando



Sustituyendo en
Tenemos
Tenemos

Juntando las expresiones tenemos:


Resultado


8)

Sustituyendo en
TenemosTenemos
Resultado

9) . Integral


Sustituyendo en
Tenemos
Tenemos
Esta última integral, ,comprende un producto y vuelve aintegrarse por partes:


Sustituyendo en
Tenemos:,pero , por lo tanto .
Reuniendo las integrales:
Resultado
10) Integral


Sustituyendo en
Tenemos
Resolviendo...