MATERIAL PARA SEGUNDO PARCIAL CALCULO I


UNIDAD NO 3. LA DERIVADA:
Contenido:
Introducción
La derivada. Concepto y notación
Teoremas sobre derivadas
Ejercicios.
Tarea. (Aquí empieza el portafolio: se revisara en semana 11 y en la semana 14 valor: 10 puntos.
Regla de la Cadena
Derivación Implícita.
Derivadas de las funciones trigonométricas
Derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas
Derivadas de las funciones paramétricasEjercicios
Tareas

Introducción: Cuando hablamos de funciones nos referimos a ellas como modelos matemáticos.
Un modelo matemático es una expresión que nos permite estimar el comportamiento de cierta variable cuando se conoce la variación de la otra. En esta unidad iniciaremos el estudio del Cálculo diferencial, el cual consiste, en analizar los cambios que ocurren en una variable como efecto dela variación en otras variables. Esta nueva unidad permitirá estudiar con más propiedad los modelos no lineales, en cuanto a: Crecimiento o decrecimiento del modelo en un intervalo. Los puntos donde los modelos tienen su máximo o mínimo valor, si existen, además donde los modelos cambian de dirección (Puntos de Inflexión). Aplicaciones de los modelos a las ingenierías, administración y economía.La velocidad y la aceleración y la segunda ley de Newton se definen como: .

La Derivada. Definición: La derivada de la función f es aquella función denotada por f, tal que su valor, en cualquier número x en el dominio de f, está dado por:
f(x) = si este límite existe, también es posible escribir la derivada de la manera siguiente: f(x) = si este límite existe.

Notación: Si y = f(x),entonces y = f(x) = Dx f(x) = y = = . Tambien es posible denotar derivadas de segundo orden, tercer orden y orden n, de la manera siguiente, si y = f(x), entonces, y = f(x) = D2x(f) , y = f(x), entonces y = , y así sucesivamente
TEOREMAS SOBRE DERIVADAS:
1) Si c es una constante y si f(x) = c, entonces f(x) = 0.

2) Si n es un numero entero positivo y si f(x) = entonces f(x) =n

3) Si f es una función, c es una constante y g es la función definida por g(x) = c*f(x), entonces
g(x) = cf(x). Dx(cxn) = cnxn – 1 .


4) Si f y g son funciones y si h es la función definida por: h(x) = f(x) + g(x), entonces se tiene que:
h(x) = f(x) + g(x) o DxDxf(x) + Dxg(x).
5) La derivada de la suma de un número finito de funciones es igual a la suma de sus derivadas si estasderivadas existe.

6) Regla del Producto de Funciones. Si f y g son funciones y h es la función definida por:
h(x) = f(x) * g(x), entonces su derivada es:
h(x) = f(x).g(x) + g(x).f(x). Esto nos indica que la derivada del producto de dos funciones es igual a la primera función por la derivada de la segunda función más la segunda función por la derivada de la primera función si estas derivadas existen.7) Regla de la División de Funciones o del Cociente de Funciones. Si f y g son funciones y h es la función definida como h(x) = ; donde g(x)  0, entonces h(x) = . La derivada del cociente de dos funciones es igual a la fracción que tiene como denominador el cuadrado del denominador original, y como su numerador tiene al denominador original por la derivada del numerador menos el numerador porla derivada del denominador original si estas derivadas existen.

8) Derivada de potencias con exponentes enteros negativos. Si f(x) = , donde –n es un numero entero negativo y x  0, entonces, f(x) = -nxn – 1 .

INTERPRETACION DE LA DERIVADA:
La derivada de una función en un punto se interpreta geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto, es decir y – y1 = m(x –x1), que es la recta tangente y es posible también escribir, y – y1 = - (x – x1), que es la recta Normal (Perpendicular), a la curva en el punto dado.

EJERCICIOS
Derivar las funciones dadas:
1)f(x) 7x – 6 2) g(x) = 8x – 3 3) h(x) = 1 – x – 4) H(x) = 5) f(x) =
6) g(x) = 4 7) f(s) = 3( 8) V(r) = 9) F(t) =
10)Dx 11) 12) (PF) 13) Dx 14)Dy (PF)
15)...