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Modelos Estoc´sticos I a Tarea 4 CIMAT A.C.
Ricardo Romo Romero Martes 31 de Agosto
Ejercicio 1 Seleccionamos al azar (es decir, con distribuci´n uniforme) un punto en la siguiente o regi´n. o

Sean X e Y las coordenadas del punto.

a) ¿Cu´l es la densidad conjunta de X e Y ? a Primero se calcular´ el ´rea de la regi´n sombreada. tomando en cuenta que es cuadrado de a o √ a lados conlongitud 2, por lo tanto el ´rea es 2. Entonces la densidad conjunta es: a fXY (x, y) = 1 1(−1,0) (x)1(−(x+1),x+1) (y) + 1(0,1) (x)1(−(x−1),x−1) (y) . 2

b) Obtenga la densidad marginal de X.

1

Usando la definici´n obtenemos: o
∞

fX (x) =
−∞ 1

f (x, y)dy 1 1(−1,0) (x)1(−(x+1),x+1) (y) + 1(0,1) (x)1(−(x−1),x−1) (y) dy 2
x−1

=
−1

x+1 1 dy + 1(0,1) (x) 1(−1,0) (x) 2 −(x+1) = (x +1)1(−1,0) (x) + (x − 1)1(0,1) (x)

=

dy
−(x−1)

. c) ¿Son X e Y independientes? No son independientes, pues al obtener la marginal fY (y) = (y + 1)1(−1,0) (y) + (y − 1)1(0,1) (y) y multiplicarla con fX (x) obtenemos: fX (x)fY (y) = ((y + 1)1(−1,0) (y) + (y − 1)1(0,1) (y)) ∗ (x + 1)1(−1,0) (x) + (x − 1)1(0,1) (x) 1 = 1(−1,0) (x)1(−(x+1),x+1) (y) + 1(0,1) (x)1(−(x−1),x−1) (y) 2 = fXY (x, y) ysi fueran independientes tendr´amos la igualdad. ı Ejercicio 2 Considere el siguiente experimento en dos etapas: primero escogemos un punto X con distribuci´n uniforme en (0, 1); despu´s escogemos un punto Y con distribuci´n uniforme en o e o (−X, X). El vector aleatorio (X, Y ) representa el resultado del experimento. a) ¿Cu´l es su densidad conjunta? a

Su densidad conjunta es fXY (x, y) =1(0,1) (x)1(−x,x) (y) = 1(−1,0) (y)1(−y,1) (x) + 1(0,1) (y)1(y,1) (x) reparametrizado

2

b) ¿Cu´l es la densidad marginal de Y? a Usando la definici´n obtenemos: o
∞

fY (y) =
−∞ 1

f (x, y)dx 1(−1,0) (y)1(−y,1) (x) + 1(0,1) (y)1(y,1) (x)dx
−1 1 1

=

= 1(−1,0) (y)
−y

dx + 1(0,1) (y)
y

dx

= 1(−1,0) (y)(1 + y) + 1(0,1) (y)(1 − y) . c) ¿Cu´l es la densidad condicional de Xdada Y? a Usando la definici´n de densidad condicional obtenemos: o fX|Y (x|y) = fX,Y (x, y) fY (y) 1(−1,0) (y)1(−y,1) (x) + 1(0,1) (y)1(y,1) (x) = 1(−1,0) (y)(1 + y) + 1(0,1) (y)(1 − y) 1(y,1) 1(−y,1) (x) + 1(0,1) (y) = 1(−1,0) (y) 1+y 1−y

Ejercicio 3 Sean X1 , . . . , Xn v.a.i.i.d. con distribuci´n continua F . Sea X = m´x1≤i≤n Xi . o a 1. Demuestre que para todo k = 1, . . . , n, P (Xk ≤ x|X =t) =
(n−1)F (x) nF (t)

1

si x < t si x ≥ t

(Sugerencia: xn − y n = (x − y)(xn−1 + xn−2 y + · · · + xy n−2 + y n−1 )). ≤x∪X=t) Demostraci´n. Si x ≥ t entonces P (Xk ≤ x|X = t) = P (Xk(X=t) o y como X = P m´x1≤i≤n Xi tenemos que P (Xk ≤ x, X ≤ t) = P (X ≤ t) ∴ P (Xk ≤ x|X ≤ t) = 1. a Ahora si x < t se tiene que: P (Xk ≤ x|X = t) = l´ →0 P (Xk ≤ x|t − ≤ X ≤ t + ) (el l´mite existe pues escontinua) ım ı entonces usando la definici´n de probabilidad condicional obtenemos: o l´ P (Xk ≤ x|t − ≤ X ≤ t + ) = l´ ım ım
→0

P (Xk ≤ x, t − ≤ X ≤ t + ) →0 P (t − ≤ X ≤ t + ) F (x)(F n−1 (t + ) − F n−1 (t − )) = l´ ım →0 F n (t + ) − F n (t − ) (n − 1)F (x) = nF (t)

(1) (2) (3)

3

De (1) a (2) se us´ el hecho de que [t− , t+ ] = [t− , t)∪[t, t+ ], entonces como son disjuntos o ladistribuci´n de [t − , t + ] es igual a la suma de las distribuciones de [t − , t) y [t, t + ], o adem´s de que las Xi son variables aleatorias independientes id´nticamente distribuidas. a e Y de (2) a (3) solo se us´ la sugerencia para F n−1 (t + ) − F n−1 (t − ) y F n (t + ) − F n (t − ) o se simplifica, se saca el l´mite y se suman los elementos. ı

2. Suponga que F es diferenciable, ¿Existe ladensidad condicional para la distribuci´n anterior? o Respuesta. Si existe pues por definici´n o fXk |X (x|t) = d (n − 1)F (x) dx nF (t) (n − 1)f (x) = nF (t)

Ejercicio 4 Definimos la varianza condicional de X dada Y por V ar(X|Y ) = E(X 2 |Y ) − [E(X|Y )]2 Sean X, Y variables aleatorias con segundo momento finito. 1. Demuestre que V ar(Y ) = E(V ar(Y |X)) + V ar(E(Y |X)) Demostraci´n. o E [V...