Mati Derivadaaplicaciones

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Derivadas y Aplicaciones

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25) Halle el ángulo θ en la siguiente figura, sabiendo que el cono tiene la menor superficie lateral posible y que está circunscrito en torno a una esfera dada. Indique el senθ
θ

IV DERIVADAS Y APLICACIONES
4.1. DEFINICIÓN DE DERIVADA. La derivada de la función
f : Df ⊂ ℝ → ℝ en el punto a∈Df está definido por

α
R

f′(a) = lim
si el límite existe.

h→0

f (a + h) − f (a) h

Ejemplo Si f(x) = x3 , calcular f ´(2) 26) Halle los ángulos agudos del triángulo rectángulo que tiene el área máxima entre todos los triángulos, en los que la suma de las longitudes de uno de los catetos y al hipotenusa es constante. 27) Halle la longitud mínima del segmento que divide el triángulo equilátero de lado c en dos figurasde áreas iguales. 28) Hallar la altura de un prisma triangular regular de volumen máximo, inscrito en una esfera de radio R. 29) Una piedra ha sido lanzada a velocidad inicial prefijada bajo el ángulo α respecto al horizonte. Despreciando la resistencia del aire, determinen con qué α la distancia de vuelo de la piedra será la máxima. 30) Determinar el área del mayor rectángulo que se puedeinscribir dentro de la región limitada por la parábola f(x) = 12 – x2 y el eje X. Solución

f ′(2) = lim

f (2 + h) − f (2) (2 + h)3 − 23 = lim = lim(12 + 6h + h 2 ) = 12 h →0 h →0 h →0 h h

∴ f ′(2) = 12

4.2. DEFINICIÓN. La derivada de la función f: Df ⊂ ℝ → ℝ en
cualquier punto x∈Df , donde existe, es otra función. Esto es f (x + h) − f (x) f ′(x) = lim h→ 0 h

4.3. NOTACIÓN

f ′ (a) =df (a) dx

Ejemplo. Si f(x) = x3, calcular f ´(x) Solución

f ′(x) = lim

h→ 0

(x + h)3 − x 3 = lim (3x 2 + 3xh + h 2 ) = 3x 2 h→ 0 h

4.4. OBSERVACIÓN. Si en la definición, reemplazamos x = a + h ⇔
h = x – a. Si h → 0, x → a, se obtiene f (x) − f (a) f ′(a) = lim x→a x −a

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4.5. TEOREMA. Si existen las derivadas de f y g en x, entonces
también existen las derivadas de f+g, f-g, f.g y f/g (g(x) ≠ 0) en x. Además ( f ± g )´ (x) = f´(x) ± g´(x) ( fg )´ (x) = f ´(x) g(x) + f(x) g´(x)

18) Calcular el área máxima de la circunferencia inscrita en el trapecio si =2b y B+2b = 8
b r h=2r

h

1) 2)

3) Prueba

 f ′ f ′(x)g(x) − f (x)g ′(x)   (x) = g(g(x))2 

r B

′ f  lim   (x) = h →0 g

( ) (x + h) − ( ) (x) = lim f (x + h)g(x) − f (x)g(x + h)
f g f g

19) Se tiene una casa de forma rectangular. Se desean enchapar las paredes. Calcular a cuánto ascendería el presupuesto, si la casa posee 3 ventanas de 5 m2 cada una y 5 puertas de 5 m2 cada una. b, a, h dimensiones y b + a + 5h = 50 , costo×m2 = S/. 5

h

h →0

hg(x +h)g(x)

= lim

h →0

f (x + h)g(x) − f (x)g(x) + f (x)g(x) − f (x)g(x + h) h g(x + h)g(x)
f (x + h) − f (x) h

h a b

= lim

g(x) − f (x) g(x + h) −g(x) h

h →0

=

(

g(x + h)g(x)

lim f (x + h) −f (x) h h →0

h →0

lim g(x + h) g(x)

) g(x) − f (x) (

lim g(x + h) − g(x) h h →0

)

∴ 

 f ′ f ′(x) g(x) − f (x) g′(x)  (x) = (g(x))2 g

4.6. COROLARIO
1)Si f(x) = c, c∈ℝ, entonces f ´(x) = 0 2) ( c f )´ (x) = c f ´(x)

4.7. DERIVADA DE FUNCIONES ESPECIALES
1) 2) 3) 4) 5) ( xn )´ =n xn -1, n∈ℤ ( xa )´ =a xa -1, a∈ℝ ( sen x )´ = cos x ( cos x )´ = - sen x ( tan x )´ = sec2 x

20) Se da una circunferencia de radio R donde se divide su diámetro en dos partes que se toman como diámetro de dos circunferencias. Halle el área máxima de la superficiecomprendida entre la 3 circunferencias. 21) Un punto se mueve sobre la parábola 2y2 = 7x, de manera que la abscisa aumenta uniformemente 3 cm/s. ¿En qué punto aumenta la abscisa y la ordenada a la misma razón? 22) Un viaje subsidiado por un colegio costará 15 soles a cada alumno si viajan no más de 150a alumnos; sin embargo, el costo por alumno se reducirá 0.05 soles por cada uno que...