Matlab

Cap´ ıtulo 6 C´lculo simb´lico con Matlab a o
6.1. Introducci´n o

Los c´lculos en Matlab, por defecto, se realizan en formato num´rico. Si efectuamos, por a e 2 ejemplo, operaciones como 1/2 + 1/5 o (π − 1)/(π − 1), nos devuelve los valores aproximados, en vez de los resultados exactos 7/10 y π + 1, respectivamente. Por otra parte, hay c´lculos que se realizan habitualmente en Matem´ticas yque no son a a posibles con las ´rdenes de Matlab estudiadas hasta el momento. Por ejemplo, al efectuar o (a + b)(a − b) o (2x)dx obtendremos un mensaje de error debido a que las variables a, b, y x no tienen valores asignados. Para solventar este tipo de problemas, podemos utilizar la herramienta c´lculo simb´lico a o de Matlab. A las expresiones sobre las que se realiza el c´lculo simb´lico selas denomina a o expresiones simb´licas y a las constantes y variables que aparecen en ellas constantes y variables o simb´licas. o

6.2.

Construcci´n de objetos simb´licos o o
Salida Crea variables simb´licas. o Convierte a variable simb´lica. o Convierte a variable num´rica. e

Funci´n o syms sym double

Para convertir una variable n´merica en simb´lica se utiliza el comando sym: u o >>a=sym(pi) % Almacena en a la constante simb´lica pi o a = pi >> n=double(a) % Obtiene el valor num´rico de la variable a y lo almacena en n e n = 3.1416 >> A=[1 1/3;1 sqrt(2)] % A es una matriz de tipo num´rico e A = 1.0000 0.3333 1.0000 1.4142 47

>> B=sym(A) % B es la expresi´n simb´lica de A o o B = [ 1, 1/3] [ 1, sqrt(2)] Para definir variables simb´licas que no tengan asignados valoresconcretos, se utiliza el comando o syms, un espacio en blanco y a continuaci´n las variables simb´licas que queramos construir. o o Por ejemplo, si escribimos >> syms x y creamos las variables simb´licas x e y, con las que ya podemos operar de forma simb´lica: o o >> 2*x^2-y/7 ans = 2*x^2-1/7*y

6.3.

Operaciones con funciones simb´licas o

Cuando una expresi´n contiene variables simb´licas,dicha expresi´n tambi´n lo es: o o o e

>>clear, syms x, f= x^2+2*x+1 % Crea la expresi´n simb´lica f o o f = x^2+2*x+1 Tambi´n se pude definir una expresi´n simb´lica sin haber declarado previamente como e o o simb´licas las variables que contiene por medio de una cadena de texto, es decir, con los o caracteres que la componen escritos entre comillas simples ’. Por ejemplo:

>> clear, f=’x^2+2*x+1’ % Crea la expresi´n simb´lica f o o f = x^2+2*x+1 De este modo, si queremos, por ejemplo, trabajar con las funciones f (x) = x3 + 1 y g(z) = z 2 + 1 podemos hacerlo creando las expresiones simb´licas correspondientes por o cualquiera de los dos m´todos: e >> clear >> syms x,f=x^3+1,g=’z^2+1’ f = x^3+1 g = z^2+1 48

Una vez definidas podemos realizar con ellas las operaciones habituales:calcular su valor en un punto, derivarlas, integrarlas, etc. Si en una expresi´n simb´lica queremos sustituir una variable por otra o por una constante o o para calcular su valor en un punto, utilizamos la orden subs: subs(f, antiguas, nuevas) Sustituye las variables antiguas por las nuevas. Si hay m´s de a una variable las escribiremos entre llaves y separada por comas. Por ejemplo, para calcular f (3)y g(1) har´ ıamos: >> subs(f,x,3),subs(g,’z’,1) ans = 28 ans = 2 N´tese que hemos escrito subs(g,’z’,1), en vez de subs(g,z,1), puesto que, al no estar declarada o z como variable simb´lica, al ejecutar esta ultima orden el programa nos devolver´ un mensaje o ´ ıa de error indicando que la variable z no existe. >> subs(g,z,3) ??? Undefined function or variable ’z’. Ejemplo 6.3.1 Constr´yase f =ax2 + bx + c y sustit´yase x por t. Para a=2, b=1, c=0, u u obt´ngase el valor de f , cuando t=2 y t=[1:4]. e Soluci´n o >> syms x a b c >> f=a*x^2+b*x+c f = a*x^2+b*x+c >> syms t >> g=subs(f,x,t) %sustituye en f, x por t g = a*t^2+b*t+c >> h=subs(g,{a,b,c},{2,1,0}) h = 2*t^2+t >> u=subs(h,t,2) u = 10 >> v=subs(h,t,[1:4]) v = 3 10 21 36 Para derivar e integrar una expresi´n simb´lica f,...