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Aplicaciones de las Transformaciones Lineales
Se aplican en sistemas de ecuaciones lineales, en matrices y en un sin número de problemas, gracias a las transformaciones lineales sabemos el dominio e imagen y teniendo esto saber si es un espacio vectorial.
Dada la transformación lineal
Determinar la matriz asociada a en la base canónica de cada espacio. Solución:
Sean <imagen> Lasbases canónicas de<img>
, respectivamente. Calculemos
T(1;0;0) = (5;1)
T(0;1;0) = (−2;4)
T(0;0;1) = (3;−2)
y escribamos cada vector en combinación lineal de la base C (5;1) = 5(1;0)+1(0;1)
(−2;4) = −2(1;0)+4(0;1)
(3;−2) = 3(1;0)−2(0;1)
luego, <img>
Ejemplo: Dada
la transformación lineal <img>determinar [F] C , donde C= (1,0),(0,1)
Solución: Para determinar la matriz asociada a en la base canónica, primero calculemos
F(1;0) = (3;1)
F(0;1) = (2;−4)
Ahora expresemos cada vector como combinación lineal de los elementos de la base (3;1) = 3(1;0)+1(0;1)
(2;−4)= 2(1;0)−4(0;1)
Así, <img>

Ejemplo
Dada latransformación lineal

Determinar la matriz asociada a en la base canónica de cada espacio.
Solución:
Sean las bases canónicas de ,  respectivamente. Calculemos
T(1;0;0) = (5;1)
T(0;1;0) = (-2;4)
T(0;0;1)  = (3;-2)

y escribamos cada vector en combinación lineal de la base
(5;1) = 5(1;0)+1(0;1)
(-2;4) = -2(1;0)+4(0;1)
(3;-2) = 3(1;0)-2(0;1)

luego,

Ejemplo
Dada la transformaciónlineal

Determinar , donde
Solución:
Para determinar la matriz asociada a en la base canónica, primero calculemos
F(1;0) = (3;1)
F(0;1) = (2;-4)
Ahora expresemos cada vector como combinación lineal de los elementos de la base
(3;1) = 3(1;0)+1(0;1)
(2;-4)= 2(1;0)-4(0;1)

Así,

6.- VALORES Y VECTORES
Sean T: V V una transformación lineal. En muchas aplicaciones es útilencontrar un vector v y un escalar V tal que Tv y v son paralelos. Es decir, se busca un vector v y un escalar tal que
Tv =v (1)
Si v " 0 y satisface (1), entonces se llama un eigenvalor de T y v se llama un eigenvector de T correspondiente al eigenvalor . Si V tiene una dimensión finita, entonces T se puede representar por una matriz AT.
Definición . Eigenvalor y eigenvector. Sea A una matrizde n * n con componentes reales&. El número (real o complejo) se llama eigenvalor de A si existe un vector diferente de cero v en Cn tal que Av = v. (2)
El vector v " 0 se llama eigenvector de A correspondiente al eigenvalor .
* Esta definición es válida si A tiene componentes complejas; pero como las matrices que se manejarán tienen, en su mayoría, componentes reales, la definición essuficiente para nuestros propósitos.
Nota. La palabra “eigen” es la palabra alemana para “propio”. Los eigenvalores también se llaman valores propios o valores característicos y los eigenvectores reciben el nombre de vectores propios o vectores característicos.
Ejemplo 1. Eigenvalores y eigenvectores de una matriz de 2 * 2.
Sea A = 10 -18
* -11
Entonces
A 2 = 10 -18 2 = 2
1 6 -11 1 1Así, 1 = 1 es un valor propio de A con el correspondiente vector propio v1 = 2
1
De manera similar, A 3 = 10 -18 3 = -6 = -2 3
2 6 -11 2 -4 2
de manera que 2 = -2 es un valor propio de A con el correspondiente vector propio v2 = 3
2
Ejemplo 2. Eigenvalores y eigenvectores de la matriz identidad. Sea A = I, entonces para cualquier v " Cn, Av = Iv = v. Así, 1 es el único valor propio de A ytodo v " 0 " Cn es un vector propio de I.
Suponga que es un valor propio de A. Entonces existe un vector diferente de cero
x1
V = x2 " 0 tal que Av = v = Iv. Rescribiendo esto se tiene (A - I)v = 0 (3)
:
xn
Sea A una matriz de n * n, la ecuación (3) corresponde a un sistema homogéneo de n ecuaciones con las incógnitas x1, x2, ..., xn. Como se ha supuesto que el sistema tiene soluciones no...