Matrices de rotacion

Matrices de Rotación
Este es el método más extendido para la representación de orientaciones debido principalmente a la facilidad que representa el álgebra matricial. Suponiendo dos ejes coordenadosOXY (fijo) con vectores unitarios para un punto iX y jY y OUV (móvil) con vectores unitarios iu y jv, como se muestra en la figura:
En ambos sistemas un vector se puede representar como:pxy = [px,py]T = pxix + pyjy
puv = [pu,pv]T = puiu + pvjv
Lo que, realizando una serie de transformaciones se convierte en:

Donde:

Es la llamada matriz de rotación quedefine la orientación del sistema OUV con respecto al sistema OXY, y que transforma las coordenadas de un vector en un sistema a las del otro. La matriz de rotación es una matriz ortonormal: R-1=RT. Sise considera que el sistema OUV se gira un ángulo α respecto a OXY la matriz de rotación quedará de la siguiente forma:

En un espacio tridimensional en donde el sistema OXYZ es el sistema fijo yOUVW es el móvil se sigue un razonamiento similar para tener que:
pxyz = [px,py,pz]T = pxix + pyjy + pzkz
puvw = [pu,pv,pw]T = puiu + pvjv + pwkw

Con lo que seobtiene la siguiente equivalencia:

Donde:

Es la matriz de rotación que define la orientación del sistema OUVW con respecto al sistema OXYZ.
Al igual que en dos dimensiones la matriz también puederepresentarse en función de sus cosenos directores. A continuación se muestran las matrices de rotación en función de sus cosenos directores para los giros respecto a los tres ejes. Una rotación delsistema OUVW (con el eje OU que coincide con el eje OX) de α grados respecto a OX se representaría de la siguiente forma.

Una rotación del sistema OUVW (con el eje OV que coincide con el eje OY) de Фgrados respecto a OY se representaría de la siguiente forma.

Una rotación del sistema OUVW (con el eje OW que coincide con el eje OZ) de θ grados respecto a OZ se representaría de la siguiente...