Matriz Hessiana

MATRIZ HESSIANA
La matriz hessiana se forma con las derivadas parciales segundas de la función que se quiere
optimizar: f(x1, x2, ..., xn), valuadas en el punto crítico:
f 11 f 12  f 1n
2
f 21f 22  f 2 n
f
H
f ji
donde f ij
   
xi x j
f n1 f n 2  f nn
Se calculan los menores principales dominantes:

H1

f11 ;

H2

f11

f12

f 21

f 22

f11
f11
f 21

f 22f 32

f 23 ; H n
f 33

f13

.....

f1n

f 21
f 31

f13

f 31

H3

f12

f12
f 22
f 32

f 23
f 33

.....
.....

f 2n
f 3n donde fij = fji

..... ..... ..... ..........
f n1 f n 2 f n 3 ...... f nn
Si todos los menores principales dominantes son positivos, la función tiene un mínimo local en
ese punto; si todos los menores principales dominantes alternan ensigno, comenzando por
negativo, la función tiene un máximo local en ese punto:
Si la función que se quiere optimizar está sujeta a m restricciones de la forma gj(x) = cj
(i = 1, 2, . . ., m) seconstruye la función de Lagrange:
L f ( x1 , x2 ,, xn )
g1 )
g2) 
gm)
1(c1
2 (c2
m (cm
y la matriz hessiana orlada se forma con una submatriz nula de dimensión m x m en el ángulo
superiorizquierdo, las primeras m filas y columnas con las derivadas parciales primeras de las
funciones de restricción g i (x) y se completa con las derivadas parciales segundas de la función
de Lagrange conrespecto a las n variables estructurales, es decir:
0



0

1
g1

g1
2



g1
n

0

0



0

g12

2
g2



2
gn


H

0

  









m
1

m
2m
 gn

0
g
g

1
1
1
2


g

1
n

0

0

g

g

m
1
m
2

L11

L12

 L1n

L21

L22

  







Ln1

donde g ij

gj
; Lij
xi

2

L
xi xj

 L2 n

Ln 2  Lnn

g
g
g

2
1
2
2



2
n

 g
 g
 g

m
n



El menor principal que contiene hasta L22 lo denominamos H 2 ; el que contiene hasta L33 lo...