Determinante hessiano

Determinante Hessiano.

El hessiano, conocido también como discriminante o matriz hessiana, fue introducido en el año de 1844 por Hess, matemático alemán quien nació en 1811 y murió en 1874. Esto sucedió luego de que Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) introdujera “los jacobianos”. Lo que hizo Jacobi con esto fue expresar los cambios de variable de las integrales múltiples en términos deestos.

Respecto a los detalles biográficos de Ludwig Otto Hess se sabe que nació precisamente en Konigsberg, Alemania (actualmente Rusia) el 22 de abril de 1811. Estudió con Jacobi en su ciudad natal (Konigsberg), donde se desempeñó primero como maestro de física y química; posteriormente como profesor. En 1856 se trasladó a Heidelberg, donde permaneció doce años, antes de tomar un puesto enMúnich, donde falleció el 4 de agosto de 1874. Ludwig Otto Hess se hizo tan famoso por una matriz que introdujo en un artículo de 1842 referido a curvas cúbicas y cuadráticas.

Matriz Hessiana de dos variables.

Si se tiene un ejercicio con dos variables, se obtendrá una matriz hessiana 2 x 2. Si el ejercicio fuese de tres variables, la matriz hessiana sería 3 x 3, y así sucesivamente. Para elcaso de dos variables, la matriz hessiana 2 x 2 se genera de la siguiente manera:

Matriz Hessiana de tres variables.

Se muestra la matriz resultante cuando se trabaja con ejercicios o problemas de tres variables. La matriz hessiana será de 3 x 3 de la siguiente manera

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Significado de cada elemento de la matriz hessiana de 3x3.

Con el objetivo de explicar cada detalle con lamayor claridad posible, se expresa el significado de cada uno de los elementos que aparecen dentro de la matriz:

Fxx Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a “x” y luego ese resultado se deriva por segunda vez con respecto a “x” nuevamente.

Fxy Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a “y” y luego ese resultado se deriva porsegunda vez pero ahora con respecto a “x”.

Fxz Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a “z” y luego ese resultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a “x”.

Fyx Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a “x” y luego ese resultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a “y”.

Fyy Significa que sederiva la función original por primera vez con respecto a “y” y luego ese resultado se deriva por segunda vez con respecto a “y” nuevamente.

Fyz Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a “z” y luego ese resultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a “y”.

Fzx Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a “x” y luego eseresultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a “z”.

Fzy Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a “y” y luego ese resultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a “z”.

Fzz Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a “z” y luego ese resultado se deriva por segunda vez con respecto a “z” nuevamente.Matriz hessiana de “n” variables

Habrá problemas en los cuales existen más de tres variables, así que se formarán matrices de 4x4, 5x5, 6x6, etc. Para ello basándose en el siguiente esquema, el cual representa la forma general de la matriz nxn, se puede formar la respectiva matriz hessiana.

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Antes de continuar se debe aclarar que para resolver problemas utilizando matriceshessianas, es necesario tener conocimiento acerca de cómo calcular determinantes para matrices cuadradas.

Forma para encontrar máximos y mínimos utilizando martirices Hessianas.

1. Tener la función original que se va a trabajar.

2. Calcular las primeras derivadas parciales de la función con respecto a cada una de las variables que se tiene la función original.

3. Igualar a cero las...