Mautis

Elaborada por: LUIS GUILLERMO AGUILAR MAYA

20 Marzo 2009

TABLA DE DERIVADAS
Regla de la Cadena (R. de la C.) o Derivada de la Función Compuesta. Si se tiene la f ( g ( x)) , donde f es la función externa y g es la función compuesta y F ( x) ( f o g ) ( x ) función interna, entonces: interna). Si se usa un cambio de variable, también puede escribirse que si y entonces y '

dy dx

y ' F' ( x)

f ' ( g ( x)). g ' ( x) (derivada externa por derivada

f (u ) y u

g (x)

f ' (u ) . u ' o y

f ' (u ) . g ' ( x) o

dy dx

dy du . du dx

Derivada Implícita. Si la expresión F ( x, y) G( x, y) , define internamente o implícitamente a una desconocida función de x , y f (x) (ya sea que se pueda despejar o no): ¿Cómo hallar f ' ( x )

dy ? dx

La respuesta es: usando unprocedimiento llamado Derivación (o Diferenciación) Implícita que consiste en derivar a ambos lados de la expresión F ( x, y) G( x, y) con respecto a x , o sea: F ' ( x, y) G ' ( x, y) , utilizando la Regla de la Cadena en todos los términos en los cuales haya que derivar a y ; luego de la expresión resultante se puede despejar a f ' ( x )
DERIVADA DE LA FUNCIÓN SIMPLE

dy . dx

No. 1 2 3FUNCIÓN Constante Identidad Suma

ECUACIÓN SIMPLE

DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA

y y
y f ( x)

k x
g ( x)

4

Resta Producto
(Multiplicación)

y y

f ( x) g ( x) f ( x) . g ( x)

5

6

Cociente (División) Constante * Función Potencia Raíz-2

y
y

f ( x) g ( x)
k . g ( x)

y f (x) (k ) ' 0 (x) ' 1 ( f ( x) g ( x)) ' f ' ( x ) g ' ( x) ( f ( x) g ( x)) ' f ' ( x) g ' ( x) ( f ( x) . g ( x)) ' f ( x) . g ' ( x) f ' ( x) . g ( x ) ( f ( x) / g ( x)) ' g ( x) . f ' ( x) f ( x) . g ' ( x) g 2 ( x)
(k . g ( x)) ' k . g ' ( x)

y

f (u) ; u
NO APLICA NO APLICA NO APLICA

g ( x)

NO APLICA

NO APLICA

NO APLICA

7 8 9

NO APLICA

y
y
y

xn
x
n

(x n ) ' n x n 1 1 ( x )' 2 x

(u n ) ' n u n 1 . u ' u' 1 ( u )' .u ' 2 u 2 u
1

10Raíz-n

x

(n x ) ' n

1
n

xn

(n u ) '

1 n n un
1

.u '

No.

FUNCIÓN

ECUACIÓN SIMPLE

DERIVADA DE LA FUNCIÓN SIMPLE

DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA

11 12 13 14

Recíproca Exponencial Natural Exponencial base b Logaritmo Natural Logaritmo base b Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante Seno Inverso Coseno Inverso Tangente Inversa Cotangente InversaSecante Inversa Cosecante Inversa Seno Hiperbólico Coseno Hiperbólico Tangente Hiperbólica Cotangente Hiperbólica Secante Hiperbólica Cosecante Hiperbólica Seno Hiperbólico Inverso Coseno Hiperbólico Inverso

y
y

1 x ex
bx
ln x

f (x) 1 (1 / x) ' x2 (e x ) ' e x

y

f (u) ; u g ( x) u' 1 (1 / u ) ' .u ' 2 u u2 (e u ) ' e u . u '
(b u ) ' (ln b) . b u . u '

y

y
y

(b x ) '(ln b) . b x

(ln x) '
(log b x) '

1 x

15 16 17 18 19 20 21 22

y

log b x

y y

sen x cos x

1 (ln b) . x (sen x) ' cos x (cos x) ' sen x

u' 1 .u ' u u 1 (log b u ) ' .u ' (ln b) . u (sen u) ' cosu . u ' (cosu) ' sen u . u ' (ln u ) '
(tan u ) ' sec2 u . u ' (cot u ) ' csc2 u . u ' (secu) ' secu tan u . u ' (cscu) ' cscu cot u . u ' 1 ( sen 1 u ) ' .u ' 1 u2 1 (cos 1 u ) '.u ' 1 u2 1 (tan 1 u ) ' .u ' 1 u2 1 (cot 1 u ) ' .u ' 1 u2 1 (sec 1 u) ' .u ' u u2 1 1 (csc 1 u) ' . u' 2 u u 1
(senh u) ' coshu . u ' (coshu) ' senh u . u '

y y y y
y

tan x cot x sec x cscx
sen 1 x

(tan x) ' sec2 x

23

y
y y y y
y y
y

cos 1 x
tan 1 x cot 1 x sec 1 x csc 1 x
senh x cosh x
tanh x

24

25

26

27 28 29 30 31 32 33

(cot x) ' csc2 x (sec x) ' secx tan x (cscx) ' cscx cot x 1 ( sen 1 x) ' 1 x2 1 (cos 1 x ) ' 1 x2 1 (tan 1 x) ' 1 x2 1 (cot 1 x) ' 1 x2 1 (sec 1 x) ' x x2 1 1 (csc 1 x) ' x x2 1
(senh x) ' cosh x (cosh x) ' senh x

( tanh x) ' sech 2 x (coth x) '
(sech x) ' (cschx) '

( tanh u ) ' sech 2 u . u ' (coth u ) '
(sechu) ' (cschu) '
(senh 1 u ) '

y
y y

coth x
sech x cschx

csch 2 x
sech x tanh x cschx coth x...