Maximo

Ejercicios de álgebra de Boole - Respuesta 2
En los casos que precede solo demostraremos una parte de cada teorema, deduciendo la otra del principio de dualidad.

Idempotencia
Por los axiomas 4b y 2a tenemos :
a + 0 = a + (a . a' ) = a
y aplicando el axioma 3 a :
a + (a . a' ) = (a + a) . (a + a') = a
Finalmente, por los axiomas 4 a y 2 b :
(a + a) . (a + a') = (a + a) . 1 = a + a = aDemostrado

Elemento unidad
Partiendo del axioma 2 b y aplicando también los axiomas 3 a, 2 b y 4 a, tenemos :
1 + a = 1 . (1 + a) = (a + a') . (1 + a) = a + a' . 1 = a + a' = 1
Demostrado.

Absorción
Aplicando los axiomas 2b y 3b, el teorema anterior y el axioma 3b de nuevo
a + a.b = a.l + a.b = a(l + b) = a.l = a
Demostrado

Asociatividad
Para este teorema demostraremos antes quese cumple
a[(a + b) + c] = [(a + b) + c]a = a
Esto es : (por el postulado 3b) :
a[(a+b) + c] = a(a+b) + a.c = a + a.c = a = [(a+b) + c]a
donde hemos aplicado reiteradamente el teorema de absorci6n y finalmente el axioma de conmutatividad.
Con el anterior resultado supongamos que se tiene
x = [(a+b) + c] . [a + (b + c)]
aplicando los axiomas de distributividad nos queda :
[(a+b) + c]a +[(a+b) + c].(b+c) = a + [(a+b) + c].(b.c)
donde hemos aplicado el resultado anterior. Aplicando de nuevo la distributividad, e1resultado anterior y el teorema de absorción :
a + {[(a+b) + c].b + [(a+b) + c].c} = a + {b + [(a+b) + c].c} = a + (b + c)
Por otro lado, aplicando los axiomas de distributividad, el resultado anterior y el teorema de absorción, tenemos también :
x = [(a + b) + c]. [a +(b + c)] = (a + b) [a + (b + c)] + c[a + (b + c)] =
= (a + b)[a + (b + c)] + c = {a [a + (b + c)] + b[a + (b + c)]} + c = (a + b) + c
Por todo ello, teniendo en cuenta la propiedad transitiva de la igualdad:
a + (b + c) = (a + b) + c
Demostrado.

Elemento único
Para demostrar que el complemento definido por el postulado 4 es único, supongamos que existen dos elementos a'1 y a'2 que losatisfacen. Esto es :
a + a'1 = 1 ; a + a'2 = 1 ; a.a'1 = 0 ; a.a'2 = 0
por los postulados 2b y 3b tendremos :
a'2 = 1.a'2 = (a + a'1).a'2 = a.a'2 + a'1 . a'2 = 0 + a'1 . a'2 = a.a'1 + a'1.a'2 = (a + a'2).a'1 = 1.a'1 + a'1
Demostrado.

Involución
Para demostrar el teorema de involución tenemos :
(a')' . a' = 0 ; (a')' + a' = 1
a . a' = 0 ; a + a' = 1
en consecuencia, tanto (a')' como a soncomplementos de a' por lo que, teniendo en cuenta el teorema anterior, se deberá cumplir :
(a')' = a
demostrado.

Propiedad de los elementos identidad de un álgebra de Boole
Teniendo en cuenta los axiomas 2 y 4 :
1' = 1' . 1 = 0 ; 0' = 0'+ 0 = 1
Demostrado.

Leyes de Morgan
Para demostrar las leyes de Morgan tenemos en cuenta que el complementario de cualquier elemento de un álgebra deBoole es único. Tenemos :

donde hemos aplicado el axioma de distributividad y el de conmutatividad y los teoremas de asociatividad y elemento unidad.

donde hemos aplicado los axiomas de distributividad conmutatividad y complementación y el teorema del elemento unidad.
Puesto que cumple los axiomas requeridos para ser el complementario de (a+b) y éste debe ser único, hemos llegado dondequeríamos.
Demostrado.

Relación de orden
Veamos ahora si la ecuación a' + b = 1 define una relación de orden :

Reflexiva :

Antisimétrica : Si por el complemento único.

Transitiva : Si es el complementario de b y si y c es el complementario de b'

De lo anterior se deduce:
c = b ⇒ a' + c = 1 ⇒ a R c
La implicación recíproca (a ≤ b ⇒ a' + b = 1 ) es trivial.
Demostrado

Sobreconjuntos
Para demostrar el último apartado consideramos las relaciones:

con esta transformación se comprueba fácilmente que el álgebra de conjuntos cumple los postulados de Huntington y, en consecuencia, es un álgebra de Boole.
Demostrado.

Ejercicios de álgebra de Boole - Respuesta 4
Las frases a), b) y c) SI son proposiciones porque son sentencias declarativas libres de ambigüedad. Están...