Maximos Y Minimos En Diferente Variables

´
Maximos y m´nimos de funciones de varias
ı
variables

1

Estudio de los puntos cr´ticos
ı

Se definen puntos cr´ticos como los puntos en los que el gradiente de la funci´ n se
ı
o
anula.
Definici´ n 1. Sea A ⊆ Rn un conjunto abierto y f : A → R una funci´ n con derivadas
o
o
segundas continuas en A. El punto Po = (x0 , . . . , x0 ) es un punto cr´tico de f si:
ı
n
1

0
0 ∂f (x1 ,...,xn ) = 0

∂x1
···
(1)
 ∂f (x0 ,...,x0 )

1
n
=0
∂xn
Todas las derivadas parciales de primer orden de f se anulan en P0

1.1

M´ ximos y m´nimos
a
ı

Se puede demostrar que los m´ ximos y m´nimos de una funci´ n son puntos cr´ticos si
a
ı
o
ı
se alcanzan en puntos interiores (tambin pueden ser m´ ximos y m´nimos puntos en la
a
ı
frontera, pero entonces noson necesariamente cr´ticos). Recordemos la definici´ n . . .
ı
o
Definici´ n 2. Sea A ⊆ Rn un conjunto abierto y f : A → R una funci´ n con derivadas
o
o
parciales de segundo orden continuas en A; se dice que un punto P0 = (x0 , . . . , x0 )
n
1
es, para la funci´ n f :
o
• m´ ximo absoluto si, para cada otro punto P = (x1 , . . . , xn ) ∈ A:
a
f (x0 , . . . , x0 ) ≥ f (x1 , . . . , xn)
1
n

(2)

• m´nimo absoluto si, para cada otro punto P = (x1 , . . . , xn ) ∈ A:
ı
f (x0 , . . . , x0 ) ≤ f (x1 , . . . , xn )
1
n

(3)

• m´ ximo relativo si existe un entorno B de P0 tal que, para cada otro punto
a
P = (x1 , . . . , xn ) ∈ B :
f (x0 , . . . , x0 ) ≥ f (x1 , . . . , xn )
1
n

(4)

• m´nimo relativo si existe un entorno B de P0 tal que, para cada otropunto
ı
P = (x1 , . . . , xn ) ∈ B :
f (x0 , . . . , x0 ) ≤ f (x1 , . . . , xn )
1
n
1

(5)

• silla si es siempre posible encontrar dos puntos P1 = (x1 , . . . , x1 ) y P2 =
n
1
(x2 , . . . , x2 ) en un entorno B de P0 tal que:
n
1
f (x1 , . . . , x1 ) ≤ f (x0 , . . . , x0 ) ≤ f (x2 , . . . , x2 )
1
n
1
n
1
n

1.2

(6)

Matriz Hessiana y definici´ n de m´ ximos y m´nimoso
a
ı

Una manera de decidir si los puntos cr´ticos son m´ ximos, m´nimos o puntos silla para
ı
a
ı
una funci´ n est´ basada en el estudio de las derivadas segundas y en particular de la
o
a
matriz hessiana1 .
o
Definici´ n 3. Sea A ⊆ Rn un conjunto abierto y f : A → R una funci´ n con derivadas
o
segundas continuas en A.
Se define la matriz hessiana de f , en cada punto, como lasiguiente matriz n × n:


H(x1 , . . . , xn ) = 

1.3

∂ 2 f (x1 ,...,xn )
∂x2
1

···

2

∂ f (x1 ,...,xn )
∂x1 ∂xn

···
···
···

∂ 2 f (x1 ,...,xn )
∂xn ∂x1



···




2

∂ f (x1 ,...,xn )
∂x2
n

(7)

Caso en dos variables

En el caso de funciones de dos variables, el signo de los valores propios de la matriz
hessiana (que es simtrica) permite decidirsi un punto es un m´ ximo relativo, un m´nimo
a
ı
relativo o un punto silla. Tenemos:
H(x, y ) =

∂ 2 f (x,y )
∂x2
∂ 2 f (x,y )
∂x∂y

∂ 2 f (x,y )
∂y∂x
∂ 2 f (x,y )
∂y 2

(8)

Definici´ n 4. Sea f una funci´ n de dos variables definida en un conjunto abierto
o
o
A ⊆ R2 y continua con sus derivadas hasta el tercer orden. Sea un punto P0 =
(x0 , y0 ) ∈ I : f (P0 ) = 0 (es decirque P0 es un punto cr´tico para f ), entonces
ı
tenemos:
1. si los dos valores propios de HP0 son positivos, P0 es un punto de m´nimo
ı
relativo;
2. si los dos valores propios de HP0 son negativos, P0 es un punto de m´ ximo
a
relativo;
3. si uno de los valores propios de HP0 es positivo y el otro negativo, P0 es un
punto silla.
(En realidad, lo que acabamos de enunciar es un teorema, nouna definicin).

1.4

M´ ximos y m´nimos vinculados: multiplicadores de Lagrange
a
ı

Para el estudio de m´ ximos y m´nimos vinculados, se aplica el m´ todo de los multiplia
ı
e
cadores de Lagrange y se estudia el signo del determinante de la matriz hessiana del
lagrangiano.
1 El

nombre viene de Otto Hess, matem´ tico alem´ n (1811–1874).
a
a

Definici´ n 5. Sea |HP0 | el...