MCCTV

Repaso de Cálculo de Probabilidades
Básico
1.2.

Introducción

Se comienza este tema con la noción de probabilidad y la terminología subyacente. La probabilidad constituye por sí misma un concepto básico que refleja su relación con la faceta del
mundo exterior que pretende estudiar: los fenómenos aleatorios, que suponen unas ciertas reglas
de comportamiento. De alguna manera el conceptode probabilidad se relaciona o recuerda las
propiedades de la frecuencia relativa. A partir de ella, y junto con las definiciones de probabilidad condicionada y la de sucesos independientes, se deducen los resultados fundamentales del
Cálculo de Probabilidades.
Luego, se muestra el nexo que une la teoría de la probabilidad y la estadística aplicada:
la noción de variable aleatoria, mostrando deesta manera cómo puede emplearse la teoría
de la probabilidad para sacar conclusiones precisas acerca de una población sobre la base de
una muestra extraída de ella. Muchos de los análisis estadísticos son, de hecho, estudio de las
propiedades de una o más variables aleatorias.
En las aplicaciones prácticas es importante poder describir los rasgos principales de una
distribución, es decir,caracterizar los resultados de un experimento aleatorio mediante unos
parámetros. Se llega así al estudio de las características asociadas a una variable aleatoria,
introduciendo los conceptos de esperanza y varianza matemática y relacionándolos con los
conceptos de media y varianza de una variable estadística.

1.3.

Experimentos y sucesos aleatorios

Se dice que un experimento esaleatorio si se verifican las siguientes condiciones:
Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones;

1

Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener;
El resultado que se obtenga, e, pertenece a un conjunto conocido previamente de resultados posibles. A este conjunto, de resultados posibles, lo denominaremos espacio
muestral y lo denotaremosnormalmente mediante la letra E. Los elementos del espacio
muestral se denominan sucesos elementales.
e1 , e2 ∈ E =⇒ e1 , e2 son sucesos elementales.
Cualquier subconjunto1 de E se denominará suceso aleatorio, y se denotará normalmente con las letras A, B, ...
A, B ⊂ E =⇒ A, B son sucesos aleatorios.
Se puede observar que los sucesos elementales son sucesos aleatorios compuestos por un sóloelemento. Por supuesto los sucesos aleatorios son más generales que los elementales, ya que
son conjuntos que pueden contener no a uno sólo, sino a una infinidad de sucesos elementales
(y también no contener ninguno). Sucesos aleatorios que aparecen con gran frecuencia en el
cálculo de probabilidades son los siguientes:
Suceso seguro: Es aquel que siempre se verifica después del experimentoaleatorio, es decir,
el mismo E
E ⊂ E =⇒ E es el suceso seguro.
Suceso imposible: Es aquel que nunca se verifica como resultado del experimento aleatorio.
Como debe ser un subconjunto de E, la única posibilidad es que el suceso imposible sea el
conjunto vacío: ∅ ⊂ E.

Suceso contrario a un suceso A: También se denomina complementario de A, y es

el suceso que se verifica si, como resultado delexperimento aleatorio, no se verifica A. Se
acostumbra a denotar con el símbolo A ó Ac . Así, Ac = {e ∈ E : e ∈ A} .
/
1

En lo que sigue, no nos preocuparemos de cuestiones de medibilidad.

2

Figura 4.1: Representación gráfica de un suceso aleatorio A ⊂ E y de su suceso contrario

1.3.1.

Ejemplo

Si realizamos el experimento aleatorio de lanzar un dado al aire, tenemos:
Sucesoselementales
Espacio muestral

Sucesos aleatorios

−→

1, 2, 3, 4, 5, 6

−→ E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
⎧
⎪ ∅ suceso imposible
⎪
⎪ E suceso seguro
⎪
⎪
⎪
⎨
{1, 2, 3}
−→
{4, 5}
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ {2, 4, 6} = {1, 2, 3}
⎪
⎩
···

Para trabajar con el cálculo de probabilidades es necesario fijar previamente cierta terminología. Vamos a introducir parte de ella a continuación.

1.4....