mec fluidos

X.- FLUJO COMPRESIBLE
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X.1.- RELACIONES ENTRE EL COEFICIENTE ADIABÁTICO Y LA VELOCIDAD DEL SONIDO EN UN FLUIDO COMPRESIBLE
Si en un fluido se origina una perturbación, la velocidad de avance del frente de onda correspondiente
es proporcional a la raíz cuadrada del cociente entre el modulo de compresibilidad E del fluido y su densidad ρ. En efecto, de acuerdo con la Fig X.1,se puede suponer que el émbolo que cierra un cilindro está en
equilibrio con el fluido contenido en el mismo, situado en A a la presión p. Al originarse una perturbación,
empujando al embolo mediante un incremento de presión dp, durante un tiempo dt, se desplaza a la ve
locidad u un cierto espacio, u dt, mientras que el frente de onda elástico y longitudinal originado por la

perturbaciónen ese tiempo se habrá situado en la posición f a la velocidad cs . En la zona B del cilindro,
todavía sin perturbar, se conserva la presión inicial que existía antes de la perturbación p.
€
Igualando la cantidad de movimiento al impulso mecánico se tiene:
€
Cantidad de movimiento: ρ V u = ρ ( cs dt S ) u ⎫
⎬ ⇒ ρ cs dt S u = S dt dp ;
Impulso mecánico: F dt = dp S dt
⎭

dp = ρ cs uA su vez, como el módulo de compresibilidad E es la relación entre el esfuerzo unitario dp y la disminución unitaria de volumen dv , de la forma:
v
E=

dp
dp
c
=
= s dp
dV
u dt S
u
V
cs dt S

⇒

dp = u E
cs

que sustituida en la anterior, permite obtener:

ρ cs u = u E
cs

⇒

cs =

E
ρ

Si se supone que la compresión es adiabática, el factor de compresibilidad kes:
Teorema de Reech
∂p
E = 1 = -v (
)Q = ( ∂p ) = γ ( ∂p )
k
∂v
∂v Q
∂v T

= -v γ(

∂p
)
∂v T

en la que el signo (-) es consecuencia de que, al tratarse de una compresión, un aumento de presión dp se
corresponde con una disminución de volumen dv.
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Flujo compresible.X.-165

Fig X.1.- Perturbación en un conducto


La expresión general de la velocidad delsonido en un fluido cualquiera cs es:
E = ρ= 1 =
ρ
vg

cs =

⎧ γ g R T
Para un gas perfecto: p v = R T
⎪
∂p
- v 2 g γ ( )T =
∂p
= ⎨ γ g p v
R
T
( )T = - €
∂v
⎪ c p ( γ - 1) g T
∂v
v2
⎩

siendo cp el calor específico del fluido en cuestión a presión constante.
A su vez:

€
cs =

-v(

E = E = - v ( ∂p )
=
ρ
∂v Q

=

∂p
)
∂v Q = ( ∂p ) = ( ∂p ) ( ∂ρ )
=ρ
∂v Q
∂ρ Q ∂v Q

ρ= 1
vg
∂ρ
(
) = - 1 12
∂v Q
g v

=

∂p
∂ρ
- v (
) (
) =
ρ ∂ρ Q ∂v Q

∂p
- v(
) (- 1 12 ) =
ρ ∂ρ Q
g v

1 ( ∂p ) =
ρ g v ∂ρ Q

(

∂p
)
∂ρ Q


en la que se ha tenido en cuenta que v = 1 que permite calcular la velocidad del sonido cs en un fluido
ρg
compresible, cuando a éste se le somete a una variación de presión dp.

Se sabe que lavelocidad c de derrame de un fluido es de la forma:
c=

2 g Tcirc =

γ
p
2€g
p0 v0 {1 - (
)
γ- 1
p0

γ-1
γ

€

}

en la que p0 y v0, son las condiciones iniciales del fluido sin perturbar, que se corresponden con las de un
punto de estancamiento por ser, c0 = 0.
La velocidad máxima es:
c máx =

2g

γ
p v =
γ-1 0 0

2g

γ
R T0 = cs 0
γ-1

2
γ- 1


en la que cs0es la velocidad del sonido en las condiciones de estancamiento.

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€

Flujo compresible.X.-166

€

X.2.- FORMULACIÓN DE HUGONIOT
En una tobera se cumple la ecuación energética:
i0 - i =

c 2 - c02
= c p (T0 - T )
2g

⇒

- di = 1 d ( c 2 ) = c dc
2g
g

⎧i la entalpía
siendo ⎨ 0
del fluido a la entrada de la tobera, e
⎩T0 la temperatura
to de latobera.

⎧i la entalpía
⎨T la temperatura del fluido en un pun⎩

Al estudiar la circulación de un fluido por una
tobera, se supone que al ser un proceso muy rápido, éste es adiabático, por lo que el fluido no intercambia calor con el medio exterior.
De acuerdo con la Fig X.2, la ecuación anterior
se puede poner en su forma diferencial, y obtener el siguiente sistema de ecuaciones en di:...