Mecanica cuantica

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Departamento de F´ ısica

NOTAS DE CLASE ´ ´ MECANICA CUANTICA II

Carlos Quimbay
Profesor Asociado

Bogot´, D.C., 2005 a

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Prefacio
El objetivo principal de estas notas de clase es realizar una presentaci´n did´ctica del o a curso de Mec´nica Cu´ntica II, bas´ndose en el contenido definido en el programa curricular a a avigente de la Carrera de F´ ısica de la Universidad Nacional de Colombia, sede Bogot´. Estas a notas de clase est´n dirigidas a los estudiantes que ya han cursado la asignatura Mec´nica a a Cu´ntica I y con estas se pretende que ellos contin´en su formaci´n b´sica en esta ´rea a u o a a de la f´ ısica a trav´s del estudio y asimilaci´n de algunos m´todos de aproximaci´n en el e o e o formalismo dela mec´nica cu´ntica no relativista. Adicionalmente se pretende introducirlos a a en los formalismos de la teor´ de colisiones y de la mec´nica cu´ntica relativista. ıa a a Estas notas de clase se dividen en cuatro partes. En la primera parte, para el caso de sistemas de una part´ ıcula, se estudian el m´todo de teor´ de perturbaciones, junto con e ıa algunos m´todos basados en el denominadoprincipio variacional. En la segunda parte, se e generalizan los m´todos de aproximaci´n tratados en la primera parte al caso de sistemas e o de muchas part´ ıculas. En la tercera, se realiza una introducci´n a la teor´ de colisiones, o ıa haciendo uso de la aproximaciones de Born y de ondas parciales. En la cuarta parte se realiza una introducci´n de la mec´nica cu´ntica relativista, estudiando lassoluciones de la ecuaci´n o a a o de Schr¨dinger relativista y de la ecuaci´n de Dirac. o o En el curso de Mec´nica Cu´ntica I se estudiaron ciertos sistemas f´ a a ısicos libres tales como la part´ ıcula en un pozo de potencial infinito, la part´ ıcula sometida a un pozo de potencial cuadr´tico (oscilador arm´nico), un electr´n sometido al potencial Coulombiano de un n´cleo a o o u at´mico (´tomohidrogenoide). Para los anteriores sistemas tanto los estados cu´nticos coo a a mo los niveles de energ´ pueden conocerse completa y exactamente a trav´s de la soluci´n ıa e o anal´ ıtica de la correspondiente ecuaci´n de Schr¨dinger. Sin embargo, para la mayor parte o o de las situaciones f´ ısicas de inter´s, sobre los sistemas pueden estar actuando efectos externos e o perturbaciones, lo cualtrae como consecuencia que las ecuaciones de Schr¨dinger ya no se o puedan resolver de forma exacta, y por lo tanto, para poder solucionarlas, se requiere acudir a los llamados m´todos de aproximaci´n. e o En los dos primeros cap´ ıtulos se desarrolla el m´todo de teor´ de perturbaciones, el cual se e ıa aplica a sistemas cu´nticos en los que act´an peque˜as perturbaciones. Estas perturbaciones a u npueden ser independientes o dependientes del tiempo, conllevando a que el estudio de la teor´ de perturbaciones se divida en dos: estacionaria y no-estacionaria. El hecho de que ıa algunos sistemas cu´nticos presenten degeneraci´n, es decir que puedan existir diferentes a o estados cu´nticos con el mismo valor propio de energ´ conduce a la necesidad de dividir a ıa, la teor´ de perturbacionesindependiente del tiempo en dos casos diferentes: para sistemas ıa no-degenerados y para sistemas degenerados. Posteriormente se introducen los m´todos basados el principio variacional. Para estos e m´todos la construcci´n de una funci´n de onda de prueba permite la evaluaci´n aproximada e o o o de la energ´ del estado cu´ntico descrita por la funci´n. Este m´todo muestra su mayor fortıa a o e alezaal estudiar sistemas cuya din´mica est´ descrita por funciones de onda de varias part´ a a ıculas. Lo anterior hace necesario introducir previamente algunos aspectos b´sicos relacionados a con la Mec´nica Cu´ntica de muchas part´ a a ıculas. A continuaci´n se describir´n los siguientes o a m´todos de aproximaci´n basados en el principio variacional: variacional-perturbativo, de e o

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