Medida

Secci´n 1. Conceptos preliminares o Definici´n 1.1. Dado un conjunto S, una pseudom´trica para S es una funo e ci´n S × S −→ [0, ∞) tal que o 1. Para toda x ∈ S, d(x, x) = 0. 2. Para toda x, y ∈ S, d(x, y) = d(y, x) (simetr´ ıa). 3. Para toda x, y, z ∈ S, d(x, y) ≤ d(x, z)+d(z, y) (desigualdad del tri´ngulo). a si tambi´n se cumple la siguiente propiedad e Si d(x, y) = 0 entonces x = y d esllamada una m´trica, (S, d) es llamado espacio pseudom´trico o espacio e e m´trico con base en si d es una pseudom´trica o una m´trica. e e e Definici´n 1.2. Dado un conjunto X, una topolog´ en X es una familia τ o ıa de subconjuntos de X (τ ⊂ 2X tal que 1. ∅ ∈ τ , X ∈ τ . 2. Si U, V ∈ τ entonces U ∩ V ∈ τ . 3. Sean Ui ∈ τ con i ∈ I, entonces
i∈I

Ui ∈ τ .

La pareja (X, τ ) se denomina espaciotopol´gico. o Definici´n 1.3. o Una base para una topolog´ τ es una familia ıa U = {U | U ∈ τ } que cumple con la siguiente propiedad: si V ∈ τ , entonces V =
U∈ U, U⊂ V

U.

Definici´n 1.4. Sea (S, d) un espacio pseudom´trico, se define la bola abierta o e con centro en x ∈ S y radio r > 0 como B(x, r) = {y ∈ S | d(x, y) < r}. Teorema 1.5. Sea (S, d) un espacio pseudom´trico, la familia de bolasabiertas e B(x, r), con x ∈ S y r > 0, es una base para una topolog´ τ ∈ S. Esta topolog´ ıa ıa τ es llamada la topolog´ pseudom´trica (en cado de que d sea una m´trica la ıa e e topolog´ τ se denomina la topolog´ m´trica). ıa ıa e

1

Definici´n 1.6. o 1. ∅ ∈ D.

Sea X un conjunto y D ⊂ 2X , D es un semianillo si se cumple

2. Si A, B ∈ D entonces A ∩ B ∈ D. 3. A\B =
n i=1

Ci con Ci ∈D, Ci ∩ Cj = ∅ si i = j. Sea X un conjunto y R ⊂ 2X , R es un anillo si cumple

Definici´n 1.7. o 1. ∅ ∈ R.

2. Si A, B ∈ R entonces A ∩ B ∈ R. 3. Si A, B ∈ R entonces A\B ∈ R. Definici´n 1.8. Un anillo R es llamado un ´lgebre si adem´s de las propiedades o a a dadas en la definici´n 1.7. se cumple la propiedad X ∈ R. o Definici´n 1.9. o ∞ n=1 An ∈ A. Un ´lgebra A es llamda σ-´lgebra si {An }n≥1 ⊂A implica a a

Proposici´n 1.10. Sea D un semianillo, sea o
n

R=
i=1

Di | Di ∩ Dj = ∅ si i = j

entonces R es un anillos. Proposici´n 1.11. o semianillo. Sea C = {(a, b] | − ∞ < a ≤ b < +∞}, entonces C es un

Proposici´n 1.12. Sea R un anillo de subconjuntos de X. Sea o A = R ∩ {X\B | B ∈ R} entonces A es un ´lgebra. a Ejemplo 1.13. Sea C = {(a, b] | − ∞ < a ≤ b < +∞}, por laproposici´n o 1.11. C es un semianillo. El anillo generado por C a partir de la proposici´n o 1.10. consiste en conjuntos de la forma
n

A=
j=1

(aj , bj ] con − ∞ < a1 ≤ b1 < a2 · · · ≤ bn < +∞ (uniones disjuntas)

para formar el ´lgebra inducida por el anillo generado por C, con base en la a proposici´n 1.12., se considera o Ac = (−∞, a1 ] ∪ (b1 , a2 ] ∪ · · · ∪ (bn , ∞). 2

Sea B laσ-´lgebra generada por C. Los intervalos abiertos (q, r) forman una a base para la topolog´ inducida por la m´trica | · | en R, adem´s ıa e a
∞

(q, r) =
n=1

q, r −

1 n
∞

implicando (q, r) ∈ B

as´ ımismo (a, b] =

a, b +
n=1

1 n

implicando que (a, b] pertence al σ-´lgebra generado por los conjuntos abiertos a de R. Observaci´n 1.14. En general la σ-´lgebra generada por losconjuntos abiero a tos de un espacio X, denotada por B(X) se denomina la σ-´lgebra de Borel y a sus elementos borelianos. Definici´n 1.15. Sea X un conjunto y A una σ-´lgebra de X, una medida µ o a es una funci´n µ : A −→ [0, ∞] tal que o 1. µ(∅) = 0. 2. µ es contablemente aditiva. la pareja (X, A) se denomina un espacio medible y la terna (X, A, µ) un espacio de medida. Una medida de probabilidad es unamedida tal que µ(X) = 1. Proposici´n 1.16. Sea A el ´lgebra inducida por el semianillo C. Sea λ una o a funci´n definida por o λ((a, b]) = b − a para todo intervalo (a, b] ∈ A. Entonces λ es una medida en A (la diferencia entre una medida en un ´lgebra y una medida en una σ-´lgebra es que en el a a a ´lgebra se hace la condici´n de subaditividad se considera cuando se cumple que o ∞ a o i=1 Ai...