Medidas de dispersión y variabilidad

Tema 4. Medidas de dispersión y variabilidad
1. Medidas de dispersión y variabilidad 2. Basadas directamente en las puntuaciones:
1. Rango o recorrido 2. Desviación media 3. Varianza y desviación típica :
a. Propiedades b. Transformaciones y combinaciones lineales

4. Medidas relativas: Coeficiente de variación

3. Basadas en rangos:
1. Amplitud intercuartil 2. MEDA o mediana de lasdesviaciones absolutas 3. Relativa: Coeficiene de variación robusto

4. El diagrama de caja (Box-Plot) como resumen de tendencia central y dispersión. 5. Las puntuaciones típicas o estandarizadas 6. Escalas derivadas

Medidas de variabilidad
Necesidad. Las medidas de posición tratan de resumir en una sola cifra el conjunto de un colectivo. No obstante, dos conjuntos de datos pueden tener la mismamedia y ser muy distintos.
*

Conjunto 1: 4, 5, 6, 7, 8, 9 10; Media = 7 Conjunto 2: 2, 3, 4, 7, 10, 11, 12; Media = 7

Medidas de variabilidad
Necesidad. Los datos anteriores son además bastante simétricos. El ejemplo pone de manifiesto la necesidad de complementar la media, que es una medida de posición, con otro valor numérico que exprese la dispersión de los datos a su alrededor.Existen varias medidas que expresan la variación de los datos en torno al valor central

Rango, recorrido o amplitud y Coeficiente de apertura
Rango: Se define como la diferencia entre la puntuación máxima y la mínima y está en la misma métrica que la variable: Xmax- Xmin. Para el conjunto 1: 10-4 = 6; Conjunto 2: 12-2 = 10 Coeficiente de apertura: se define como el cociente entre la puntuaciónmayor y la menor: CA = Xmax/Xmin. Es adimensional Ambas medidas presentan el problema de utilizar únicamente dos datos y ser muy sensibles a los valores extremos. No les afectan los cambios de escala.

Desviación media
Una forma intuitiva de definir la dispersión respecto de la media sería obteniendo las desviaciones de todas las puntuaciones y sumarlas, pero por la propiedad de que la suma dedesviaciones es 0, esta opción no sirve. Dos soluciones: tomar las desviaciones en valor absoluto o elevarlas al cuadrado. La primera solución se toma en la Desviación media, la segunda en la varianza. Desviación Media : No tiene buenas propiedades estadísticas y no es base de otros cálculos

DM =

∑ (X
i =1

n

i

− X)

n

Varianza y desviación típica
Una solución alternativa eselevar las desviaciones al cuadrado y promediarlas, es decir, obtener la media de las desviaciones al cuadrado. Esta solución se denomina Varianza de la distribución. Está en una métrica diferente, la métrica de la variable elevada al cuadrado Para volver a la misma métrica, se extrae la raíz cuadrada de la varianza, estadístico conocido como Desviación típica Al obtener la media de las desviacionesal cuadrado, suele dividirse por (n-1) en vez de por n, por razones que se explicarán con detalle en Estadística 2. Esta medida se denomina cuasi-varianza La varianza presenta propiedades óptimas, muy útiles en el desarrollo de otros conceptos estadísticos

Cálculo de la varianza
Definición:
s =
2 x

∑ (X
n i =1

i − X)

2

Otras fórmulas útiles Datos agrupados en frecuencias Datosagrupados en intervalos
2 sx =

n

2 sx =

∑( X
i =1

n

i − X)

2

n −1

∑X
i =1

n

2 i

n

−X2

2 sx =

∑n (X
i =1 i

m

i

−X)

2

n = ∑ ni
i =1

m

2 sx =

∑n (X
j =1 j

k

cj k

−X)

2

n = ∑ nj
i =1

Desviación típica
Se define como la raíz cuadrada de la varianza, es decir:

sx = s

2 x

Propiedades de la Varianza
1.2.

3.

Varianza y desviación típica siempre son no negativas (0 o un valor positivo, alcanzando el valor 0 solamente si todos los casos son iguales al promedio o iguales entre sí) Varianza de puntuaciones transformadas linealmente: En las transformaciones lineales, la varianza se ve afectada solamente por el cambio de escala (constante multiplicativa), pero no por el cambio de origen...