medidas de dispersion

Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de variabilidad, muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media. Cuánto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entreellos.

Para calcular la variabilidad que una distribución tiene respecto de su media, se calcula la media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la media aritmética. Pero la suma de las desviaciones es siempre cero, así que se adoptan dos clases de estrategias para salvar este problema. Una es tomando las desviaciones en valor absoluto (desviación media) y otra es tomando lasdesviaciones al cuadrado (varianza).
El rango o recorrido interarticular es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo en un grupo de números aleatorios. Se le suele simbolizar con R'.

Obtención del rango[editar]
Ordenamos los números según su tamaño.
Restamos el valor mínimo del valor máximo
Rango = {(Max - Min)}
Ejemplo[editar]
Para la muestra (8, 7, 6, 9, 4, 5), el dato menor es 4y el dato mayor es 9. Sus valores se encuentran en un rango de:

Rango = (9-4) = 5
Medio rango o Rango medio[editar]
El medio rango o rango medio de un conjunto de valores numéricos es la media del mayor y menor valor, o la tercera parte del camino entre el dato de menor valor y el dato de mayor valor. En consecuencia, el medio rango es:

medioRango = \frac{\ (Max + Min)}{2}Ejemplo[editar]
Para una muestra de valores (3, 3, 5, 6, 8), el dato de menor valor Min= 3 y el dato de mayor valor Max= 8. El medio rango resolviéndolo mediante la correspondiente fórmula sería:

medioRango = \frac{\ (8 + 3)}{2} = 5.5

Representación del medio rango: Medio rango.jpg

Varianza[editar]
Artículo principal: Varianza
La varianza es una medida estadística que mide la dispersión de losvalores respecto a un valor central (media), es decir, es el cuadrado de las desviaciones: S_X^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}{n-1}

S_X^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2
Propiedades[editar]
La varianza es siempre positiva o 0: V_{X}^2 \geq 0
Si a los datos de la distribución les sumamos una cantidad constante la varianza no se modifica.
Y_i = X_i + k1 c S_Y^2 =\frac{\sum (Y_i - \bar{Y})^2}{n} = \frac{\sum [(X_i + k) - (\bar{X} + k)]^2}{n} = \frac{\sum (X_i + k - \bar{X} - k)^2}{n} = \frac{\sum (X_i - \bar{X})^2}{n} = S_X^2

Si a los datos de la distribución los multiplicamos una constante, la varianza queda multiplicada por el cuadrado de esa constante.
Y_i = X_i \cdot k

S_Y^2 = \frac{\sum (Y_i - \bar{Y})^2}{n} = \frac{\sum (X_i \cdot k - \bar{X} \cdotk)^2}{n} = \frac{\sum [k \cdot (X_i - \bar{X})]^2}{n} = \frac{\sum [k^2 \cdot (X_i - \bar{X})^2]}{n} = k^2 \cdot \frac{\sum (X_i - \bar{X})^2}{n} = k^2 \cdot S_X^2

Propiedad distributiva: V(X + Y) = V(X) + V(Y) - cov (X,Y)
Desviación típica[editar]
La varianza a veces no se interpreta claramente, ya que se mide en unidades cuadráticas. Para evitar ese problema se define otra medida dedispersión, que es la desviación típica, o desviación estándar, que se halla como la raíz cuadrada positiva de la varianza. La desviación típica informa sobre la dispersión de los datos respecto al valor de la media; cuanto mayor sea su valor, más dispersos estarán los datos. Esta medida viene representada en la mayoría de los casos por S, dado que es su inicial de su nominación en inglés.

Desviacióntípica muestral[editar]
S = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n}}

Desviación típica poblacional[editar]
\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n fi (X_i - \mu)^2}{n}}

-->x = [17 14 2 5 8 7 6 8 5 4 3 15 9]
x = 17. 14. 2. 5. 8. 7. 6. 8. 5. 4. 3. 15. 9.
-->stdev(x)
ans = 4.716311
-->
Primero hemos declarado un vector con nombre X, donde introduzco los números de la serie. Luego con...