Medio Continuo

5.1 ELASTICIDAD
En física e ingeniería, el término elasticidad designa la propiedad mecánica de ciertos materiales de sufrir deformaciones reversibles cuando se encuentran sujetos a la acción de fuerzas exteriores y de recuperar la forma original si estas fuerzas exteriores se eliminan.
5.1.1 Ley de Hooke generalizada
De todos es conocida la sencilla formula, conocida como «Ley de Hooke»:| (3.1) |

que relaciona la deformacion de una barra sometida a esfuerzo axil, con la tension normal generada por dicho esfuerzo, y sabemos que a la constante «E» se le denomina Modulo de elasticidad 3.3, y no vamos a extendernos en sus caracteristicas.
Podemos plantearnos ahora la pregunta: ¿Como es la relacion tension-deformacion en un estudio en tres dimensiones?. En otras palabras,queremos saber como relacionar las seis componentes de la tension en un punto con las seis correspondientes de la deformacion, en ese mismo punto.
Existen dos caminos para alcanzar nuestro. Por un lado tenemos el camino matematico y por otro el semiempirico o, diriamos, ingenieril. Utilizando el primero, escribimos la relacion entre tension y deformacion como sigue:
| (3.2) |

A su vez,podriamos poner las componentes de la deformacion en funcion de las de la tension, lo que supondria otras 36 constantes en las ecuaciones.
El conjunto de ecuaciones 3.2 es una generalizacion logica de la Ec. 3.1, ya que suponemos que cada componente de la tension es una combinacion lineal de todas las componentes de la deformacion. Los coeficientes c, i, j representan propiedades del material para elque se establecen las ecuaciones. Si suponemos que el material es isotropo, estas constantes deben ser las mismas para cualquier sistema ortogonal de coordenadas en el punto en cuestión 3.4
En lo que sigue vamos a utilizar el camino semiempirico para obtener las ecuaciones tension-deformacion. Y aclaramos ya que el nombre semiempirico procede del hecho de considerar ciertos supuestos cuya validezproviene de las numerosas confirmaciones experimentales llevadas a cabo en la practica en condiciones adecuadas a las bases de este estudio. Los supuestos en cuestion, son:
* Una tension normal, no produce deformacion de cizalladura en los planos , o .
* Una tension tangencial, solo genera una deformacion tangencial, .
* Al ser las deformaciones pequeñas, el principio desuperposicion es valido sin restricciones.
En relacion con el paralelepepedo elemental de la figura 3.1 bajo una tension , la componente de la deformacion de la ecuacion 3.1 toma el valor: .
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Figura: Elemento bajo una tension uniaxial |
Acompañando a la elongación en la dirección , habra contracciones en las direcciones y , que vienen dadas por:

Para muchos materiales, es constante en elestado elastico y la llamamos coeficiente de Poisson, como ya sabemos.
Consideremos ahora el elemento anterior sometido a un estado de tension triaxial --ver figura 3.2-- en la que la longitud inicial de AB es la unidad.

Figura 3.2: Elemento bajo una tension triaxial
La componente de la deformacion, , la determinamos suponiendo que se aplica primero, cambiando la longitud AB una cantidad .Luego se aplica , que produce un cambio adicional en la longitud AB igual a . Pero como es una deformacion elastica es despreciable con respecto a la unidad y la podemos eliminar. Cuando aplicamos e ignorando nuevamente el termino de orden superior, el cambio de la longitud AB lo expresamos por .
La deformacion total en la direccion del eje , viene dada por:
| (3.3) |

Y por un razonamientoanalogo tendremos las otras dos deformaciones:

Figura 3.3: Elemento bajo cizalladura pura
En lo que se refiere a la relacion tension-deformacion, en un estado bidimensional de cizalladura pura --figura 3.3-- experimentalmente se encuentra que cumple una relacion del tipo:
| (3.4) |

y analogamente:

donde se denomina modulo de elasticidad tangencial o mas habitualmente modulo de...