Mef - Estimación De Error En Problemas Elípticos

v1
4 1 5 2

S

v2

Introducción al Método de los Elementos Finitos
Parte 4 Estimación de error en problemas elípticos


Estimación de error en problemas elípticos
• Para un típicoproblema elíptico de la forma Hallar u ∈ V / a(u, v)=L(v) ∀v ∈ V donde se verifica 1. a(.,.) es una forma bilineal simétrica, continua y V-elíptica. 2. L(.) es una forma lineal continua resulta

u − uh
•V

γ ≤ u −v α

V

∀ v∈V

Si elegimos v=πhu∈V como un interpolante de u y estimamos el error de interpolación ||u−πhu||V, obtendremos una estimación del error ||u−uh||V del MEF. Elegimosπhu tal que sus gdl coincidan con los de u en Vh, así el problema de determinar ||u−πhu||V se reduce a determinar u−πhu individualmente sobre cada elemento finito K∈Th.

•

Introducción al Método delos Elementos Finitos

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Interpolación con funciones lineales a trozos en 2D
• Sea

V=H1 (Ω), Vh = {v ∈ V: v K ∈ P1 (K), ∀ K ∈ Th }
ρK hK
ρK hK

• Para c/triángulo K∈Th, definimos

hK :diámetro de K = lado más largo de K ρ K : diámetro del círculo inscripto en K

ρΚ/hK da una idea de la calidad del elemento (cuanto mayor, mejor)
• Designemos Th a una familia de mallas {Th}indexadas por el parámetro h = max hK
K∈Th

• Asumimos ∃ constante β∈R+, independiente de h, tal que una

ρK
hK

≥β

∀ K ∈ Th

Esta condición implica que los triángulos K∈Th no pueden serarbitr. finos. La constante β es una medida del ángulo más pequeño para cualquier K∈Th.
Introducción al Método de los Elementos Finitos 3

Interpolación con funciones lineales a trozos en 2D (cont)
•Sean Ni, i=1,2,…,M, los nodos de Th. Dado u ∈ C0 ( Ω ) , definimos el interpolante πhu∈Vh por

π h v( x i ) v= 1, 2, , M = ( xi ) i
i.e, πhu es la función lineal a trozos que coincide con u en losnodos xi de Th. • Empecemos por estimar el error u−πhu en cada triángulo K.

u

πhu

K

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Interpolación con funciones lineales a...