Metematica

´ TEMAS DE CALCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES
Abel Enrique Posso Agudelo Alejandro Mart´ ınez Acosta Jos´ Rodrigo Gonz´lez Granada e a
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Universidad Tecnol´gica de Pereira o Facultad de Ciencias B´sicas a Departamento de Matem´ticas a

´ TEMAS DE CALCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES c Abel Enrique Posso Agudelo. Autor Profesor titular Universidad Tecnol´gica de Pereira o cAlejandro Mart´ ınez Acosta. Autor Profesor asociado Universidad Tecnol´gica de Pereira o c Jos´ Rodrigo Gonz´lez Granada. Autor e a Profesor asistente Universidad Tecnol´gica de Pereira o Primera edici´n, Pereira - Risaralda. Marzo de 2010 o ISBN 978-958-44-6800-0

Portada: Abel Enrique Posso Agudelo Dise˜o y diagramaci´n: los autores n o Digitaci´n y elaboraci´n de dibujos: Los autores o oImpreso y hecho en Colombia Impreso por POSTERGRAPH S. A. Derechos reservados. Prohibida la reproducci´n total o parcial sin autorizaci´n escrita del titular o o de los derechos.

Contenido

Prefacio 1. Vectores 1.1. Coordenadas y vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Coordenadas cartesianas en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Vectores en Rn . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii 1 1 1 4 10 10 14 18 22 22 25 28 31 31 32 34 36

1.2.1. Suma y multiplicaci´n por un escalar . . . . . . . . . . . . . o 1.2.2. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Producto vectorial en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3. Rectas yplanos en el espacio (R3 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Planos en el espacio (R3 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Ejercicios del cap´ ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Superficies 2.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.2. Superficiescil´ ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Superficies de revoluci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.4. Superficies cu´dricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a

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Contenido
2.5. Ejercicios del cap´ ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Funciones vectoriales 3.1. Funciones vectoriales y curvas . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 3.2. L´ ımites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Derivadas e integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Longitud de arco y curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˆ ˆ ˆ 3.4.1. El triedro m´vil T , N , B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.4.2. Curvatura y c´ ırculo osculador en curvas planas .. . . . . . 3.4.3. Curvatura y torsi´n en curvas en el espacio . . . . . . . . . o 3.5. Movimiento en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Posici´n, velocidad y aceleraci´n . . . . . . . . . . . . . . . o o 3.5.2. Componentes tangencial y normal de a . . . . . . . . . . . 42 43 43 46 47 49 51 53 57 58 58 60 62 65 65 65 66 68 71 75 81 87 92 94 96

3.6. Ejercicios delcap´ ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Derivaci´n parcial o 4.1. Campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Puntos y conjuntos en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. Definici´n, dominio y recorrido . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.1.3. Conjuntos de nivel y gr´ficas . . . . . . . . . . . . . . . . . a 4.2. L´ ımites ycontinuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Plano tangente y diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Gradientes y conjuntos de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Derivadas direccionales ....