Metodo de givens

Método de Givens para matrices reales tridiagonales simétricas
Como ya se ha estudiado, una de las tantas formas de encontrar los autovalores de una matriz es formar el polinomio característico de la matriz y determinar las incógnitas que serán nuestros autovalores.
Ahora bien, ya indicamos que existen varios tipos específicos de matrices, uno de estos es una matriz tridiagonal simétrica
Elmétodo de Givens consiste en generar el polinomio característico de una matriz tridiagonal simétrica con el fin de encontrar los autovalores y autovectores que solucionaran un sistema de ecuaciones lineales homogéneo.
Desarrollo del método
Considerando una matriz tridiagonal simétrica
A=b1c100…0c1b2c20…00c2b3c3…000c3b4…0⋮⋮⋮⋮⋱cn-10000cn-1bn
Sin pérdida de la generalidad podemos asumir que A es unamatriz tridiagonal irreducible, esto es, ci≠0 para todo i.
Entonces aplicamos (A-λI)
A-λI=b1-λc100…0c1b2-λc20…00c2b3-λc3…000c3b4-λ…0⋮⋮⋮⋮⋱cn-10000cn-1bn-λ

Ahora el polinomio característico viene dado por:
Piλ=det⁡(Ai-λI)
Es decir este se genera progresivamente tomando en cuenta submatrices dentro de la matriz general.

Ahora definiendo:
* P0λ=1
* P1λ=bi-λ
↓
↓
*Piλ=bi-λPi-1λ-c2iPi-2λ
Con lo cual se define recursivamente el polinomio característico
Pλ=Pnλ
Los autovalores buscados se encuentran presentes en la solución del polinomio característico, para ello se debe hallar las raíces del mismo utilizando cualquier método, para luego utilizar las mismas en la resolución del sistema homogéneo y encontrar un autovector para su respectivo autovalor.
Algoritmo del Métodode Givens:
DATOS DE ENTRADA
n → Grado de la matriz
ai,j → Elementos de la matriz
SALIDA DEL ALGORITMO
‘’Los autovectores son: x’’
PASOS DEL ALGORITMO
Paso 1: syms l p
Paso 2: p(1)=1
Paso 3: p(2)=(a(1,1)-l)
Paso 4: para i=2:n
Paso 5: p(i+1)=(a(i,i)-l)*p(i)-a(i-1,i)^2*p(i-1)
Paso 6: P=expand(p(n+1))
Paso 7: P=sort(P)
Paso 8: lambda=roots(sym2poly(P))
Paso 9: para i=1:n
Paso10: c=a-lambda(i)*eye(n);
Paso 11: c=c(1:n-1,:);
Paso 12: b=-c(:,1);
Paso 13: c=c(:,2:n);
Paso 14: x(i,:)=inv(c)*b;
Paso 15: x=[ones(n,1),x]
% Metodo de Givens
%
%El metodo de givens es utilizado para encontrar los autovalores de
%una matriz real tridiagonal simetrica, cuya solucion es la solucion
%trivial.
%Este programa esta diseñado para determinar los autovaloresde una matriz
%cuadratica de cualquier orden que cumpla con las condiciones anteriormente
%indicadas, y adicionalmente se determinan los autovectores
%correspondientes a cada autovalor, con esto se logra una completa
%determinacion de las dudas que podamos presentar acerca de una matriz y
%sus eigen valores y eigen vectores
%Para que el prgrama se ejecute sin producir errores el usuariodebera
%seguir las instrucciones que se le presentan.
%-------------------------------------------------------------------------
function given
n=input('Ingrese el grado de la matriz A= ');
disp(' ')
disp('LA MATRIZ DEBERA SER INGRESADA PRIMERO LOS ELEMENTOS DE LA DIAGONAL PRINCIPAL ')
disp(' Y LUEGO DE LA DIAGONAL SUPERIOR PUES ES UNA MATRIZ TRIDIAGONAL SIMETRICA ')
disp('RECUERDE QUE LOSELEMENTOS DE LA DIAGONAL SUPERIOR DEBEN SER DISTINTOS DE CERO ')
disp(' ')
a=eye(n);
%Ingreso de la matriz tridiagonal simetrica
for i=1:n
a(i,i)=input('Ingrese el a-esimo elemento de la diagonal principal ');
end
for i=2:n
a(i-1,i)=input('Ingrese el a-esimo elemento de la diagonal superior ');
a(i,i-1)=a(i-1,i);
end
disp(' ')
disp('LA MATRIZ TRIDIAGONAL SIMETRICAINGRESADA ES:')
a
%Hacemos que las letras j y p tomen valores de incognitas
syms l p
%Generacion del polinomio caracteristico
p(1)=1;
p(2)=(a(1,1)-l);
for i=2:n
p(i+1)=(a(i,i)-l)*p(i)-a(i-1,i)^2*p(i-1);
end
P=expand(p(n+1));
P=sort(P)
%Solucion del polinomio caracteristico para encontrar los autovalores
disp('LOS AUTOVALORES DE LA MATRIZ SON:')
lambda=roots(sym2poly(P))...