Metodo de Newton

TALLER 2 MATEMÁTICAS AVANZADAS

ESTUDIANTE: ANA MARÍA JARAMILLO


1) Un polinomio de variable compleja viene dado por:



El polinomio se puede expresar mediante su parte real y su parte imaginaria haciendo , así:


A partir del teorema fundamental del álgebra se puede concluir que un polinomio de grado tiene exactamente raíces en el campo de los complejos. Las raíces se calculanresolviendo el sistema de ecuaciones no lineales:


Con base en lo presentado, dado el polinomio de tercer grado ,


a. Exprese el polinomio mediante su parte real y su parte imaginaria.

Se tiene el polinomio P(z) = 2z3 –j2z2+3z-3+j6 (1)
Sea z = x + jy (2)

Reemplazando (2) en (1) obtenemos:

P(z) = 2 (x + jy) 3 –j2(x + jy)2+3(x + jy)-3+j6

Se desarrollan las operacionesanteriores
P(z) = 2(x3+3x2jy+3xj2y2+j3y3)-j2(x2+2xjy+j2y2)+3x+3jy-3+j6
P(z) = 2x3+6x2jy+6xj2y2+2j3y3-j2x2+ 4xj2y+ 2j3y2+3x+3jy-3+j6
P(z) = 2x3+6xj2y2+ 4xj2y+3x-3 +6x2jy+2j3y3-j2x2+ 2j3y2+3jy+j6

Sabemos que j2 = 1 y j3 = -1. Luego:

P(z) = 2x3+6xy2+ 4xy+3x-3 + 6x2y-2y3-2x2-2y2+3y+6

Si se separa la primera parte como la real y la segunda como la imaginaria, se obtiene:

F(x,y) =2x3+6xy2+ 4xy+3x-3
G(x,y) = 6x2y-2y3-2x2-2y2+3y+6


b. Represente gráficamente el sistema

El programa para graficar es:

clear all;
zi=input('Abscisa inicial=');
zf=input('Abscisa final=');
yi=input('Ordenada inicial=');
yf=input('Ordenada final=');
f=input('F(z,y)=');
g=input('G(z,y)=');
ezplot('F(z,y)',[zi,zf,yi,yf]);
hold on
ezplot('G(z,y)',[zi,zf,yi,yf]);
grid on


Paragraficar este sistema utilizamos entonces:

Abscisa inicial =-7;
Abscisa final =7;
Ordenada inicial =-7;
Ordenada final =7;
F(z,y)= ((2*x^3)-(6*x*y^2)+(4*x*y)+(3*x)-3)
G(z,y)= ((6*x^2*y)-(2*y^3)-(2*x^2)+(2*y^2)+(3*y)-6)


La gráfica es la siguiente:


c. Determine las tres raíces por el método de Newton

El programa para encontrar las raíces con el método de Newton es:

clear alln=input('Iteraciones= ');
xi=input('Semilla x= ');
yi=input('Semilla y= ');
F=input(' F(x,y)=');
G=input(' G(x,y)=');
Fx=input(' Fx(x,y)=');
Fy=input(' Fy(x,y)=');
Gx=input(' Gx(x,y)=');
Gy=input(' Gy(x,y)=');
xe(1)=xi;
ye(1)=yi;
for i=2:n
x=xe(i-1);
y=ye(i-1);
H(i-1)=eval(Fx)*eval(Gy)-eval(Gx)*eval(Fy);
Hx(i-1)=eval(F)*eval(Gy)-eval(G)*eval(Fy);Hy(i-1)=eval(Fx)*eval(G)-eval(Gx)*eval(F);
xe(i)=xe(i-1)-Hx(i-1)/H(i-1);
ye(i)=ye(i-1)-Hy(i-1)/H(i-1);
end
[ze',ye']


Usando la semilla (0,-1.5) se obtiene:

ans =

0 -1.5000
-0.1818 -1.4545
-0.1905 -1.4784
-0.1881 -1.4775
-0.1882 -1.4775

Usando la semilla (1,1) se obtiene:

ans =

1.0000 1.0000
0.9096 0.9605
0.9167 0.94190.9234 0.9354
0.9258 0.9331
0.9266 0.9323
0.9269 0.9320
0.9270 0.9319


Usando la semilla (-1,1) se obtiene:

ans =

-1.0000 1.0000
-0.6723 1.2316
-0.7031 1.4586
-0.7342 1.5182
-0.7370 1.5363
-0.7382 1.5424
-0.7386 1.5446
-0.7387 1.5453
-0.7388 1.5456

Luego se tiene que las raícesobtenidas por el método de Newton son:

-0.1882-1.4775i
+0.9270+0.9319i
-0.7388+1.5456i


d. Halle las raíces de manera directa usando y compare

x=roots([2,-i*2,3,-3-i*6])

x =

-0.1882-14775i
-0.7388+1.5457i
0.9270+0.9318i

Como vemos, corresponden con las raíces encontradas con el método de Newton.


2. Considere el sistema de ecuaciones:



a) Elimine la variable yrepresente gráficamente el sistema resultante.




Se despeja z2 en la ecuación (3)

Z2 = 4-x+y (a)

De la ecuación (1)
Z = 1-x2-y (b)

Se reemplaza (b) en (a)
(1-x2-y)2 = 4 – x + y

Se desarrolla el cuadrado:

1 – 2x2 – 2y + x4 + 2x2y + y2 = 4 – x + y

Se efectúan las operaciones y se obtiene la primera ecuación del sistema 2x2

-x4 – 2x2y – y2 + 2x2 + 3y + 3 – x = 0 (A)...