metodos de los residuos


1-METODOS DE LOS RESIDUOS
El método de los residuos es consecuencia directa del teorema integral de Cauchy y forma parte fundamental de la teoría matemática de análisis complejo.
Sea  una función analítica en un dominio simplemente conexo D, excepto en un número finito de puntos  que constituyen singularidades aisladas de la función. Sea C una curva simple, cerrada y regular a trozosorientada positivamente, contenida en D y que no pasa por ninguna de las singularidades. Entonces se tiene:

Donde  es el Residuo de la función, en el punto singular zk.
Sea  holomorfa usando las ecuaciones de Cauchy Riemann la forma diferencial  es cerrada. Por lo tanto, usando el corolario sobre las diferenciales de forma cerrada, un dominio simplemente conexo, sabemos que la integral  es iguala  siempre que  sea una curva homotópica con .
En específico, podemos considerar una curva tipo  la cual tiene una rotación alrededor de los puntos  sobre círculos pequeños, cuando unimos todos estos pequeños círculos por medio de segmentos.
Ya que la curva  sigue cada segmento 2 veces con alineación opuesta, sólo necesitaremos sumar las integrales de  alrededor de los círculos pequeños.Consecuentemente sea  parametrización de la curva alrededor del punto, entonces tendremos, por lo tanto:



donde , escogido tan extremadamente diminuto, tal que las esferas  están todas desarticuladas y todas en un mismo dominio . Entonces por medio de la linealidad en todas las singularidades, se demuestra que para toda :

Sea  fija y apliquemos la serie de Laurent para  en 

de tal forma que,donde c-1, es el coeficiente de  en la serie de laurent. Entonces tenemos:

Observemos que si  , tendremos
mientras que para  tenemos que los términos de la suma se anulan, debido a que



Si tenemos f (t), su transformada se define


Como 
Generalmente la transformada tiene la forma  Donde además el grado de R(P) es mayor que Q(P)
El método de residuos para calcular la inversa es de lasiguiente forma:
1. Calculamos los polos de F (P), es decir los puntos donde R (P)
2. Para cada polo  calculamos un residuo 

3.  puede ser definido como polo simple, polo con multiplicidad 

Para un  simple  se define como 

para  polo de multiplicidad   se define 

4. Con esto la transformada inversa se define como 
Ejemplos:


1.






2.
ParaPara




3.






2-CEROS Y SINGULARES
Los valores reales en los que se anula la derivada de una función  f(x) se denominan puntos singulares ó estacionarios.
Si f ´(x)=0 en x1, x2, x3, . . . , xn, entonces x1, x2, x3, . . . , xn son puntos singulares de f(x).
Los valores f(x1), f(x2), f(x3),. . ., f (xn), se llaman valores singulares.
Es importante saberque puede ocurrir en un punto singular.
En un punto singular la función puede presentar un extremo local ó no, conviene distinguir muy bien las situaciones.
El estudiante ya debe conocer los siguientes teoremas referidos a los extremos locales:
Teorema (condición necesaria de extremo relativo)
Sea una función definida en el intervalo abierto (a, b). Si x0 es un extremo local de f(x) en (a, b) yf(x) es derivable en x0, entonces f ´(x0)=0.
Recordará que la condición necesaria para que exista máximo o mínimo relativo de f(x) en x0, es que se anule su derivada primera, es decir la tangente a la curva en x0 es horizontal. 
El reciproco de este teorema no es cierto: Es decir si una función tiene derivada nula en x0, no necesariamente la función tiene un extremo local en x0.
Se puedeconfirmar lo dicho anteriormente consultando el programa Descartes preparado en el margen derecho. En él se muestran dos funciones y en ambas se da el caso de existencia de puntos singulares, f'(x)=0; si bien en el caso de la función f(x)=x3-3x, se verifica f'(-1)=0, f'(1)=0 siendo x=-1 un punto máximo local   y x=1 un punto mínimo local; en el caso de la función f(x)=0.5x3, se verifica que f'(0)=0...