Metodos Estadisticos

Dentro de la estadística existen aspectos muy importantes como son las variables y los individuos y para ellos existen métodos de reducción para el número de ambos. Dentro de estos métodos se encuentran los de Componentes principales (ACP) y el modelo factorial cuyo objetivo no solo es reducir el número de variables sino hacerlo de forma óptima para poder representar los datos en una dimensióninferior logrando una interpretación más simple y compacta incluyendo su extensión al análisis multivariado de series de tiempo y dentro de esto último existen dos enfoques que son el análisis en el dominio del tiempo cuyas herramientas principales son las funciones de autocorrelación y autocorrelación parcial y análisis en el dominio de las frecuencias cuyo enfoque se basa en la suma de ondas dediferentes frecuencias de las cuales se estudian las más importantes.

Ej:

Dentro del enfoque del dominio del tiempo se encuentran además los Métodos de reducción de dimensionalidad en series de tiempo multivariadas estacionarias como el Método de Peña y Box basado en el dominio del tiempo y el Método de Brillinger basado en el dominio de las frecuencias de los cuales se hará unacomparación con respecto a la capacidad para identificar el número de factores latentes mediante simulaciones:

A) Método de Peña y Box, basado en el dominio del tiempo.

Su modelo básico supone que el proceso observable (zt) centrado y de dimensión k es generado por factores (yt) de dimensión r con r ≤k más un término de error et.

Factores Comunes de Peña y Box

Peña y Box (1987) demuestranque para series estacionarias que siguen el modelo factorial [1] las matrices de covarianzas tienen la estructura, para k>0, ΓX (k) = AD(k)A’, donde A es la matriz de carga y D(k) es una matriz diagonal definida positiva. Las columnas de A son vectores propios de las matrices de covarianzas retardadas con valores propios los términos diagonales de D(k). Partiendo de este resultado, estos autoresproponen obtener una estimación preliminar de la matriz de carga, en un vector de series temporales estacionarias, a partir de los vectores propios comunes de las matrices de covarianzas retardadas. Obtenida la matriz A podemos obtener fácilmente la de cointegración como el complemento ortogonal de A. Para ello formamos la matriz AA' y nos quedamos con los vectores propios ligados a valorespropios nulos. Estos vectores estiman la matriz de cointegracion β. Para obtener la transformación que separa los factores de un vector de ruido blanco definimos la matriz M=[A β] , y la transformación Yt = M'Xt nos proporcionará en las primeras r componentes los factores mezclados con ruido y en las n-r siguientes componentes ruido blanco.
Cuando el vector analizado no es estacionario la matriz decovarianzas no existe y, en consecuencia, no podrá aplicarse el método de Peña y Box (1987) para la extracción de los factores comunes. Peña y Poncela (1998) solucionan el problema analizando las matrices de covarianzas generalizadas. Supongamos para simplificar que el vector de series Xt es I(1). Entonces, utilizando [1] podemos escribir:

Las matrices N-2ΣXtX't, N-2Σftf't convergen a sendasmatrices aleatorias cuyos términos son funcionales de procesos de Wiener, mientras que el resto de los términos converge hacia cero. En consecuencia, para procesos I(1) existe una descomposición análoga al caso estacionario y obteniendo los valores y vectores propios de las matrices de covarianzas generalizadas C(k)=N-2ΣXtX't-k, podremos efectuar la descomposición entre factores estacionarios y noestacionarios. Basta observar que valores propios son constantes en las matrices y tomar éstos para definir la matriz de carga. Dado que los valores propios variarán ligeramente de una matriz a otra en la práctica tomaremos los valores propios de C(1).
Llamando A a la matriz de los autovectores asociados a los r autovalores mayores y repetidos en las matrices C(k) tal y como aparecen en la matriz...