METODOS LOCALIZACION ESPACIAL

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Relacion entre los distintos metodos de localizacion
espacial
Pedro Pintado Torres - ppintadot@est.ups.edu.ec
Ingenieria Electronica
Universidad Politecnica Salesiana
Cuenca-Ecuador

I. I NTRODUCCIÓN .
A continuacion se presentara uan breve introduccion a cada
sistemas de representacion rotacional para tener claro los
conceptos de cada uno, luego se determinara la relacion que
existe entreellos explicando la migracion entre los mismos.
Este tipo de transformacion es de gran utilida ya que se
puede pasar de la necesiad de tener una matriz con nueve
elementos a tan solo tres valores angulares o un solo vector,
minimizando asi la complejidad de un sistema de referencia
para el posicionamiento de un objeto en el espacio.
II. M ARCO T EORICO
A. Matriz de Rotación.
Las matrices de rotacionson uno de los metodos mas
utilizados para la descripcion de la orientacion de un cuerpo
en el espacio, su facilidad se da ya que permite el uso del
algebra matricial.
Supongase que los sistemas OXYZ y OUVW coinciden en
el origen sabiendo que OXYZ es el sistema fijo y que OUVW
es solidario al objeto del cual se desea definir su orientacion.
Teniendo como vectores unitarios del sistema fijo a ix ,jy , kz
y para el sistema OUVW iu , jv , kw , cualquier vector p podra
ser referido a cualquier sistema mediante;
T
Puvw = [pu , pv , pw ] = pu ∗ iu + pv ∗ jv + pw ∗ kw
T
Pxyz = [px , py , pz ] = px ∗ ix + py ∗ jy + pz ∗ kz
Resultando

 la siguiente
 equivalencia;


Px
Pu
ix iu ix jv ix kw
 Py  =R  Pv  =  jy iu jy jv jy kw 
Pz
Pw
kz iu kz jv kz kw
Para cada rotacion en los ejes delsistema de referencia
(fijo), se genera una matriz correspondiente a la misma. En
la figura 1 se muestra las rotaciones realizadas sobre cada eje.
Matriz de Rotacion
en X


1
0
0
R (x, α) =  0 cosα −senα  [1]
0 senα cosα
Matriz de Rotacion
en Y


cosφ 0 senφ
0
1
0  [1]
R (y, φ) = 
−senφ 0 cosφ
Matriz de Rotacion en Z

Figure 1. Sistemas de Referencia.




cosφ −senθ 0
R (z, θ) =  senθ cosθ0  [1]
0
0
1
Para conseguir la matriz de rotacion total se debe multiplicar
las matrices rotaciones de cada eje pero se debe tener en cuenta
el orden de las rotaciones ya que la multiplicacion de matrices
no es conmutativa, es decir si primero se da una rotacion
en φ, luego en α y por ultimo en θ, se debera multiplicar
R (y, φ) ∗ R (x, α) ∗ R (z, θ), siempre manteniendo el orden
de lasrotaciones.
B. Angulos de Euler
Los ángulos de Euler sirven para una orientación de un
sistema OUVW con respecto a un sistema OXYZ en funcion

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sistema OUVW corresponde al sistema OXYZ girado un
angulo θ sobre el eje k, donde el vector k pasa por el origen
de los dos sistemas, ademas este vector y angulos son unicos
para cada posicion en la que se encuentre el sistema OUVW
con respecto a OXYZ
Rot(k, θ)p= pcosθ ∗ (kx p)senθ + k(k ∗ p)(1 − cosθ)[1]
III. R ELACION ENTRE LOS DISTINTOS METODOS DE
LOCALIZACION ESPACIAL

A. Angulos de Euler : Matriz de transformacion homogenea
Al realizar esta transformacion nos queda definida solamente la submatriz de rotacion.
1) Sistema ZXZ: Este sistema responde a la soguiente
secuencia de rotaciones;
TZXZ = T (z, φ)T (u, θ)T (w, ψ)
y de forma matricial es;Figure 2. Angulos de Euler [1]

de loa ángulos φ, θ, ψ. Los cuales se denominan ángulos de
Euler.
Existen varias representaciones para los angulos de Euler a
conticuacion se describen los pasos para cada uno de ellos para
los cuales se puedra colocar al sistema OUVW en cualquier
orientación.
1) Ángulos de Euler ZXZ :
1) Girar el sistema OUVW un ángulo φ, con respecto al
eje OZ, convirtiéndose así en elOU´V´W´.
2) Girar el sistema OU´V´W´ un ángulo θ con respecto al
eje OU´, convirtiéndose así en el OU´´V´´W´´.
3) Girar el sistema OU´´V´´W´´ un ángulo ψ con respecto al eje OW´´ convirtiéndose finalmente en el
OU´´´V´´´W´´´.
2) Ángulos de Euler ZYZ :
1) Girar el sistema OUVW un ángulo φ con respecto al eje
OZ, convirtiéndose así en el OU´V´W´.
2) Girar el sistema OU´V´W´ un ángulo θ con...