Metodos Numericoas

UNIDAD 6
6.1 Métodos de un paso.
Los métodos de Euler.
Una de las técnicas más simples para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales es conocida como Método de Euler o método de lastangentes. Supongamos que queremos aproximar la solución del problema de valores iniciales y ’ = f(x, y) para el cual y(x0) = y0. Si h es un incremento positivo sobre el eje x, entonces, como se muestra enla figura, podemos encontrar un punto Q(x1, y1) = (x0 + h, y1) sobre la tangente en P (x0, yo) a la curva solución desconocida.
De la ecuación de una recta que pasa por un punto dado, tenemos:
;O bien
En donde
Si denotamos x0 + h por x1, entonces el punto Q(x1, y1) ubicado sobre la tangente es una aproximación del punto R(x1, y(x1)) que se encuentra sobre la curva solución. Esto es y1 ≈y(x1).







Por supuesto, la exactitud de la aproximación depende mucho del tamaño del incremento h. Usualmente debemos elegir el tamaño de esta medida de modo que sea “razonablementepequeña.
Suponiendo que h tiene un valor uniforme (constante), podemos obtener una sucesión de puntos (x1,y1), (x2, y2), . . ., (xn, yn), que sean aproximaciones de los puntos (x1,y(x1)), (x2,y(x2)), . .., (xn, y(xn)).
Ahora bien, usando el valor de y2 que es la ordenada de un punto sobre una nueva “tangente”, tenemos:
; o bien es decir
En general se tiene que:


En donde xn = x0 +nh.
El método de Euler mejorado o fórmula de Heun.
La fórmula . . . . . . (A)
donde

se conoce como Fórmula de Euler mejorada o Fórmula de Heun.

Los valores de f(xn, yn) y f(xn+1,y٭n+1) son aproximaciones de la pendiente de la curva en (xn, y(xn)) y (xn+1,y(xn+1)) y en consecuencia el cociente puede ser interpretado como una pendiente promedio en el intervalo entre xn, xn+1.Las ecuaciones de (A) se pueden visualizar fácilmente.
En la figura se muestra el caso en que n = 0.



Observe que f(x0, y0) y f(x1, y٭1) son las pendientes de las rectas indicadas que pasan...