metodos numericos para ingenieria

Orígenes del
Cálculo Diferencial e Integral
Historia del Análisis Matemático

Miguel Martín Suárez

Granada, 2008

Contenido:
• De la matemática griega al origen del Cálculo
3
1. Problemas de cuadraturas en las matemáticas griegas
3
• Cuadratura de un segmento de parábola por Arquímedes
• Área de una espiral
• Cálculo de tangentes en la matemática griega
2. Las matemáticas enEuropa en el siglo XVII
10
3. La integración antes del Cálculo
12
• Los indivisibles de Cavalieri
• Cuadratura de la cicloide por Roberval
• Parábolas e hipérbolas de Fermat
• La integración aritmética de Wallis
4. Orígenes y desarrollo del concepto de derivada
21
• Cálculo de tangentes y de valores extremos
• El método de máximos y mínimos de Fermat
• El método de las tangentes de Fermat• El método de Roberval y Torricelli para las tangentes
• El triángulo diferencial de Barrow
31
5. El resultado fundamental de Barrow
• El nacimiento del Cálculo: Newton y Leibniz
33
1. Newton y el cálculo de uxiones
35
2. Leibniz y el cálculo de diferencias
41
46
3. El Teorema Fundamental del Cálculo según Newton
4. La invención del calculus summatorius por Leibniz
48
52
5.Newton y las series innitas
6. Desarrollo posterior del cálculo diferencial
57

Evolución de la idea de integral

499

De la matemática griega al origen del Cálculo
Es un buen ejercicio de cálculo que compruebes estos resultados paso a paso. Te garantizo que el resultado final obtenido es correcto. Un resultado parecido se obtiene para el
caso en que b > a. Lo dejo para que lo hagas tú.
©Problemas de cuadraturas en las matemáticas griegas
8.8. Evolución de la idea de integral
Los problemas de cuadraturas son problemas geométricos que consisten en lo siguiente:
dada una gura, construir un cuadrado con área igual a la de la gura dada. Esta construcción

8.8.1. Problemas de cuadraturas en las matemáticas griegas

debía hacerse con regla no graduada y compás, siguiendounas normas precisas. Según lo
5 Los problemas de cuadraturas son problemas geométricos que consisten en lo siguiente:
establecido en los Elementos de Euclides (c. 300 a.C.) la construcción debe constar de un
dada una figura, construir un cuadrado con área igual a la de la figura dada. Esta construcción
número nito de pasos, con regla no graduada y compás, siguiendo unas normas precisas. Según loestadebía hacerse cada uno de ellos consistente en:
blecido en los Elementos de Euclides (c. 300 a.C.) la construcción debe constar de un número
finito de pasos, cada uno de ellos consistente
• Trazar una recta que una dos puntos. en:

•

 Trazar una recta de centro y
Trazar una circunferenciaque una dos puntos.radio arbitrarios.

•

 de las circunferencia de centro y
IntersecardosTrazar una guras anteriores. radio arbitrarios.

 Intersecar dos de las figuras anteriores.
Son famosos los problemas de la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación
Son famosos los problemas de la cuadratura del en una circunferencia. En la
del cubo y la inscripción de polígonos regularescírculo, la trisección de un ángulo, la dupli- antigua Grecia se
cación delcubo y la inscripción de polígonos regulares en una circunferencia. En la antigua
sabía cuadrar cualquier polígono.
Grecia se sabía cuadrar cualquier polígono.

F

A

O

D

G

B

E

H

C
Figura 8.26. Cuadratura de un rectángulo

Figura 1. Cuadratura de un rectángulo
Para cuadrar el rectángulo ABCD de la figura 8.26 se procede de la forma siguiente:

1) Se prolonga el ABCDdetermina sobre 1 se procede de la BC .
Para cuadrar el rectángulo lado AB y sede la gura él un punto E tal que BE D forma siguiente:
5 Para

escribir estas notas históricas he seguido de cerca los trabajos de Kirsti Andersen [1], Israel Kleiner [10],

1) Se prolongaGonzález Urbaneja [7]y H. J. M. Bos [2].
el lado AB y se determina sobre él un punto

E

tal que

BE = BC.

2) Se...