Metodos Numericos Trabajo 3

TRABAJO COLABORATIVO 3

JOSE DAVID GUTIERREZ PEDREROS
NORENT JULIETH JIMENEZ VEGA
NANCY JOHANNA NOVOA VEGA
YURANI ALEJANDRA MONTERO

GRUPO: 48

MIGUEL ANDRES HEREDIA
TUTOR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERIA
MÉTODOS NUMÉRICOS
Bogotá
Mayo de 2012

INTRODUCCION

A continuación se desarrollan ejercicios mediantelos cuales se aplican los conocimientos
adquiridos en la unidad cuatro y cinco Modulo de Métodos Numéricos de la Universidad
Nacional Abierta y a Distancia “UNAD”,

como Diferenciación e integración numérica y

ecuaciones diferenciales con métodos numéricos. Se desarrolla de la forma trabajo
colaborativo, mediante el cual cinco estudiantes unen sus esfuerzos y comparten
conocimientosdurante el desarrollo del mismo, con el fin de cumplir con sus m etas
propuestas en el curso.

OBJETIVOS

Estudiar y comprender los conceptos de cada capítulo de la unidad cuatro y cinco.
Desarrollar competencias comunicativas con sus compañeros de grupo al realizar
un procedimiento matemático.
Desarrollar la competencia argumentativa al exponer la resolución de un problema
utilizando losconceptos del modulo.

MAPA CONCEPTUAL

UNIDAD 5

ECUACIONES
DIFERENCIALES CON
MÉTODOS NUMÉRICOS

Método de Euler

La solución de un problema
de valores iniciales se
obtiene generalmente paso
a paso por métodos de
integración hacia adelante,
lo que permite valuar Yi+1
tan
pronto se conozcan los
valores Yi, Yi-1 de Y en uno
o más pivotes anteriores..
El
más simple de estosmétodos, debido a Euler, es
aplicable a ecuaciones de
primer
orden y no requiere conocer
la solución en los pivotes
anteriores.

Método de Runge
Kutta

Son un conjuntos de
métodos iterativos
(implícitos y explícitos)
para la aproximación de
soluciones de ecuaciones
diferenciales ordinarias,
concretamente, del
problema de valor inicial.

Métodos
multipasos

Sólo se necesita unaevaluación de función por
paso. Esto puede originar
grandes
ahorros de tiempo y costo

DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS

1. Usar la regla de Simpson de 1/3 para aproximar la siguiente integral: (Recuerde
que debe hallar f(-2), f(1) y f(4))
4

(1 x 4 x3 x5 )dx
2

Solución:
b

f ( x)dx

(b a)

a

f ( x) 1 x 4 x 3
a
2
b4
x0
2

f ( x0 ) 4 f ( x1 )
6

f ( x2 )

x5

x11
x2

4

f ( x0 )

f ( 2) 1 ( 2) 4( 2)3 ( 2) 5 1 2 32 32 3

f ( x1 )

f (1) 1 (1) 4(1)3 (1) 5 1 1 4 1

f ( x2 )

f (4) 1 (4) 4(4)

3

(4)

4

(1 x 4 x3
2

x5 )dx

(4 ( 2))

5

3

1 4 256 1024 765

3 4( 3) 765
6

756

1. Aplicar el método de Runge-Kutta de orden cuatro para obtener la aproximación
y(0,8) a la solución del siguiente problema de valorinicial, con h=0,2

2

y`=y- x +1
y(0)=0,5

Solución:

f ( x, y)

y'

f ( x, y)

y x2 1

Primera Iteración

x0

0

y0

0.5

h 0.2
k1

f ( x0 , y0 ) 0.5 02 1 1.5

hk1
h
k2 f x0
, y0
2
2
0.65 0.01 1 1.64
hk2
h
k3 f x0
, y0
2
2
0.664 0.01 1 1, 654
k4

y0

hk1
2

y0

hk2
2

x0

h
2

x0

h
2

2

1

(0.2)(1.5)
0.5
2

1

(0.2)(1.64)0.5
2

2

0.2
0
2

0.2
0
2

f ( x0 h, y0 hk3 ) ( y0 hk3 ) ( x0 h) 2 1 (0.5 0.2(1, 654)) (0 0.2) 2 1
0,8308 0, 04 1 1, 7908
h
0.2
(k1 2k2 2k3 k4 ) 0.5
(1.5 2(1.64) 2(1, 654) 1, 7908)
6
6
0.5 0.033(1.5 3, 28 3,308 1, 7908) 0,82929333

y 1 y0

2

1

2

1

Segunda Iteración
x1

0.2

y1

0.82929333

h 0.2
f ( x1 , y1 ) 0.822929333 (0.2) 2 1 1, 78929333k1

hk1
hk1
h
k2 f x1
, y1
y1
2
2
2
1, 0082 0, 09 1 1,9182
k3

f x1

hk2
h
, y1
2
2

y1

hk2
2

2

x1

h
2

1

x1

h
2

(0.2)(1, 78929333)
0,82929333
2

1

0.82929333

2

(0.2)(1.9182)
2

0, 2
0, 2
2

0, 09 1

1,9311
f ( x1 h, y1 hk3 ) ( y1 hk3 ) ( x1 h) 2 1 (0.82929333 0.2(1,9311)) (0.2 0.2) 2 1

k4

1, 2155 0,16 1 2, 055

y2...