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Lord Barrera - Capítulo 5. Series de capitales o anualidades

• Las anualidaes ciertas, simples, anticipadas e inmediatas, conocidas simplememente como anualidades anticipadas.
• Anualidaes ciertas, simples, vencidas y diferidas, conocidas simplememente como anualidades diferidas.

5.2. Anualidades vencidas
De los 16 tipos de anualidades existentes, las anualidades ciertas, simples,
vencidase inmediatas son una de las más utilizadas en el mundo financiero. Es
común referirse a este tipo de anualidades como anualidades vencidas u ordinarias.
El monto de una anualidad vencida es el valor acumulado de una serie de
pagos iguales efectuados al final de cada periodo de pago. A continuación se
presenta un ejemplo del cálculo del monto de una anualidad vencida.
Ejemplo 5.2.1. Suponga que sedepositan $ 2000 al final de cada mes en un
banco que paga una tasa de interés de 1.2 % mensual capitalizable cada mes.
¿Cuál será el monto al cabo de 6 meses?
Solución. El flujo de la operación es el siguiente:

2000
0

1

2000
2

2000
3

2000
4

2000
5

2000
6 meses
F

donde F es el monto de la anualidad.
Observe que el cero en el flujo de la operación corresponde al momento actual
o presente ycoincide con el inicio del mes 1. El número 1 marcado en el flujo
de la operación corresponde al final del mes 1 y coincide con el inicio del mes 2
y así sucesivamente.
Al flujo de la operación anterior también se le conoce como diagrama de flujo
de efectivo. Recuerde que el flujo de efectivo corresponde a las entradas y salidas
de dinero. En este ejemplo se tiene un flujo de efectivo de $ 2000mensuales
durante 6 meses.
Debido a que los depósitos se realizan al final de cada mes, los primeros
$ 2000 ganarán intereses por 5 meses, los segundos $ 2000 ganarán intereses por 4 meses, etc. El último depósito realizado al final del mes 6 no gana

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Lord Barrera - Sección 5.2. Anualidades vencidas

intereses. El monto de la anualidad es la suma de todos los depósitos mensuales
y sucorrespondiente interés compuesto, acumulado hasta el término del plazo.
Si la fecha focal se localiza al final del sexto mes, el monto de la anualidad es dado
por la siguiente ecuación del valor:
F = 2000(1.012)5 + 2000(1.012)4 + 2000(1.012)3 + 2000(1.012)2 + 2000(1.012) + 2000
Factorizando:
[
]
F = 2000 (1.012)5 + (1.012)4 + (1.012)3 + (1.012)2 + (1.012) + 1 = 12 365.812
El interés compuesto ganado por laanualidad es la diferencia entre el monto y el
capital total depositado:
Interés ganado = 12 365.812 − (2000)(6) = 365.812
Cuando el número de pagos o depósitos es muy grande, el método anterior para
obtener el monto de la anualidad resulta muy laborioso. A continuación se deducirá la fórmula general para obtener el monto o valor futuro de una anualidad
cierta, simple, vencida e inmediata.Considere una anualidad vencida en donde A es el pago o depósito hecho al
final de cada uno de n periodos. Sea r la tasa de interés por periodo (expresada
en decimal), y F el monto de la anualidad. El diagrama de tiempo es el siguiente:

A
0

1

A
2

A
3

A

A

A

n-3

n-2

n-1

A
n periodos
F

Ya que el primer pago se realiza al final del primer periodo, ganará intereses
por (n − 1) periodos. Elsegundo pago ganará intereses por (n − 2) periodos,
etc. El pago final no genera intereses. Si la fecha focal se localiza al final del periodo n, entonces el monto o valor futuro de la anualidad está dado por
F = A ( 1 + r ) n −1 + A ( 1 + r ) n −2 + A ( 1 + r ) n −3 + . . . + A ( 1 + r ) 3 + A ( 1 + r ) 2 +

+ A (1 + r ) + A
Factorizando el lado derecho de la expresión anterior:
[
]
F = A ( 1 + r ) n−1 + ( 1 + r ) n −2 + ( 1 + r ) n −3 + . . . + ( 1 + r ) 2 + ( 1 + r ) + 1

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Lord Barrera - Capítulo 5. Series de capitales o anualidades

O bien

[
]
F = A 1 + ( 1 + r ) + ( 1 + r ) 2 + . . . + ( 1 + r ) n −3 + ( 1 + r ) n −2 + ( 1 + r ) n −1

Los términos de la expresión entre corchetes forman una sucesión geométrica,
donde haciendo:
a1 = 1
y
i = 1+r
obtenemos la sucesión geométrica
Sn =

1...